Câu hỏi:
25/06/2024 54
Một cái thùng đựng đầy nước tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng \(\frac{3}{2}\) chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(54\sqrt 3 \pi \,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}.\) Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và có đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(R\) là bán kính của khối cầu.
Khi đó thể tích nước tràn ra ngoài là thể tích của một nửa khối cầu nên \(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi {R^3} = 54\sqrt 3 \pi \Rightarrow R = 3\sqrt 3 .\)
Do đó chiều cao của thùng nước là: \(h = \frac{2}{3}.2R = 4\sqrt 3 .\)
Cắt thùng nước bởi thiết diện qua trục ta được hình thang cân \[ABCD\] với \(AB = 3CD.\) Gọi \(O\) là giao điểm của \[AD\] và \[BC\] thì tam giác \[OAB\] cân tại \[O.\]Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] và \(I\) là giao điểm của \[OH\] và \(CD\) nên \(I\) là trung điểm của \[DC\] nên \(DI = \frac{1}{3}AH.\)
Ta có \(\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{DI}}{{AH}} = \frac{1}{3} \Rightarrow OH = \frac{3}{2}HI = 6\sqrt 3 \).
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(H\) trên \[OA\] thì \(HK = R = 3\sqrt 3 \)
Tam giác \[OHA\] vuông tại \(H\) có đường cao \[HK\] nên
\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{O^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} - \frac{1}{{H{O^2}}} = \frac{1}{{36}} \Rightarrow AH = 6 \Rightarrow DI = 2.{\rm{ }}\)
Thể tích thùng đầy nước là:
\(\frac{{h\pi \left( {A{H^2} + D{I^2} + AH \cdot DI} \right)}}{3} = \frac{{4\sqrt 3 \pi \left( {{6^2} + {2^2} + 6 \cdot 2} \right)}}{3} = \frac{{208\sqrt 3 \pi }}{3}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)
Do đó thể tích nước còn lại là: \(\frac{{208\sqrt 3 \pi }}{3} - 54\sqrt 3 \pi = \frac{{46\sqrt 3 \pi }}{3}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right).\) Chọn C.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + \left( {5 - m} \right)x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2\,;\,\, + \infty } \right)\) là
Xem đáp án »
25/06/2024
8,645
Câu 2:
Biết \(M\left( {1\,;\,\, - 5} \right)\) là một điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + 4{x^2} + bx + 1.\) Giá trị \(f\left( 2 \right)\) bằng
Xem đáp án »
25/06/2024
7,336
Câu 3:
Lớp 12D có 45 học sinh, trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Tiếng Anh, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?
Lớp 12D có 45 học sinh, trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Tiếng Anh, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?
Xem đáp án »
11/07/2024
4,527
Câu 4:
Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \((\alpha ):ax - y + 2z + b = 0\) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng \((P):x - y - z + 1 = 0\) và \((Q):x + 2y + z - 1 = 0.\) Giá trị của \(a + 4b\) bằng
Xem đáp án »
25/06/2024
4,123
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {m^2}\left( {\sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} } \right) + 4\sqrt {4 - {x^2}} + m + 1.\) Tổng tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị nhỏ nhất bằng 4 là
Xem đáp án »
25/06/2024
2,025
Câu 6:
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) có đồ thị \[\left( C \right)\] và đường thẳng \(d:y = x - m\), với \(m\) là tham số thực. Biết rằng đường thẳng \(d\) cắt \[\left( C \right)\] tại hai điểm phân biệt \[A\] và \[B\] sao cho điểm \(G\left( {2\,;\,\, - 2} \right)\) là trọng tâm của tam giác \[OAB\] \[(O\] là gốc tọa độ). Giá trị của \(m\) bằng
Xem đáp án »
25/06/2024
1,981
Câu 7:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{{2^n}}};\forall n \in {\mathbb{N}^*}}\end{array} \cdot } \right.\) Tính \(\lim \left( {{u_n} - 2} \right)\).
Xem đáp án »
25/06/2024
1,289
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 4)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Nghĩa của từ
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 13)
về câu hỏi!