Câu hỏi:

25/06/2024 141

Media VietJack

Một cái thùng đựng đầy nước tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng \(\frac{3}{2}\) chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(54\sqrt 3 \pi \,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}.\) Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và có đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi \(R\) là bán kính của khối cầu.

Khi đó thể tích nước tràn ra ngoài là thể tích của một nửa khối cầu nên \(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi {R^3} = 54\sqrt 3 \pi  \Rightarrow R = 3\sqrt 3 .\)

Do đó chiều cao của thùng nước là: \(h = \frac{2}{3}.2R = 4\sqrt 3 .\)

Cắt thùng nước bởi thiết diện qua trục ta được hình thang cân \[ABCD\] với \(AB = 3CD.\) Gọi \(O\) là giao điểm của \[AD\] và \[BC\] thì tam giác \[OAB\] cân tại \[O.\]

Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] và \(I\) là giao điểm của \[OH\] và \(CD\) nên \(I\) là trung điểm của \[DC\] nên \(DI = \frac{1}{3}AH.\)

Ta có \(\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{DI}}{{AH}} = \frac{1}{3} \Rightarrow OH = \frac{3}{2}HI = 6\sqrt 3 \).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(H\) trên \[OA\] thì \(HK = R = 3\sqrt 3 \)

Tam giác \[OHA\] vuông tại \(H\) có đường cao \[HK\] nên

\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{O^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} - \frac{1}{{H{O^2}}} = \frac{1}{{36}} \Rightarrow AH = 6 \Rightarrow DI = 2.{\rm{ }}\)

Thể tích thùng đầy nước là:

\(\frac{{h\pi \left( {A{H^2} + D{I^2} + AH \cdot DI} \right)}}{3} = \frac{{4\sqrt 3 \pi \left( {{6^2} + {2^2} + 6 \cdot 2} \right)}}{3} = \frac{{208\sqrt 3 \pi }}{3}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Do đó thể tích nước còn lại là: \(\frac{{208\sqrt 3 \pi }}{3} - 54\sqrt 3 \pi  = \frac{{46\sqrt 3 \pi }}{3}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right).\) Chọn C.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Trên giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng \((P),\,\,(Q)\) ta lấy lần lượt 2 điểm \[A,\,\,B\] như sau:

• Lấy \(A\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,1} \right) \in \Delta \), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 0}\\{x + 2y = 0}\end{array} \Rightarrow x = y = 0 \Rightarrow A\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)} \right..\)

• Lấy \(B\left( { - 1\,;\,\,y\,;\,\,z} \right) \in \Delta \), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y + z = 0}\\{2y + z = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 2}\\{z =  - 2}\end{array} \Rightarrow B\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\, - 2} \right)} \right.} \right..\)

Vì \(\Delta  \in (\alpha )\) nên \(A,\,\,B \in (\alpha ).\) Do đó, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + b = 0}\\{ - a + b - 6 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 8}\\{b =  - 2}\end{array}} \right.} \right..\)

Vậy \(a + 4b =  - 8 + 4 \cdot \left( { - 2} \right) =  - 16.\) Chọn A.

Câu 2

Lời giải

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 4m \cdot {x^3} + 16\left( {m - 6} \right)x \le 0\,;\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4x\left[ {m{x^2} + 4\left( {m - 6} \right)} \right] \le 0\,;\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow m{x^2} + 4m - 24 \le 0 \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 4} \right) \le 24 \Leftrightarrow m \le \frac{{24}}{{{x^2} + 4}}\,;\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow m \le {\min _{\left[ {1\,;\,\,2} \right]}}\left( {\frac{{24}}{{{x^2} + 4}}} \right) = 3\).

Mà \(m \in \left( { - 10\,;\,\,10} \right)\) suy ra có tất cả \(3 - \left( { - 9} \right) + 1 = 13\) giá trị nguyên của \(m\) cần tìm.

Chọn D.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP