Câu hỏi:

19/08/2025 3,016 Lưu

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 2x\) và \(g\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} - 2x\) với \(a\,,\,\,b\,,\,\,c\,,\,\,m\,,\,\,n \in \mathbb{R}.\) Biết hàm số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) có ba điểm cực trị là \( - 1\,;\,\,2\) và 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = 18f'\left( x \right)\) và \(y = 18g'\left( x \right).\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta có \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = \left( {a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 2x} \right) - \left( {m{x^3} + n{x^2} - 2x} \right)\)

\[ \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = a{x^4} + \left( {b - m} \right){x^3} + \left( {c - n} \right){x^2} + 4x\]

\( \Rightarrow f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3\left( {b - m} \right){x^2} + 2\left( {c - n} \right)x + 4\)

Lại có \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right) \Rightarrow y' = f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = 4a\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\)

Suy ra hệ số tự do là \(4a \cdot 1.\) Khi đó \(\left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right) = 24a = 4 \Leftrightarrow a = \frac{1}{6}.\)

Hoành độ giao điểm của hai đường \(y = 18f'\left( x \right)\) và \(y = 18g'\left( x \right)\) là

\(18f'\left( x \right) = 18g'\left( x \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{x = 2}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).

Do đó, diện tích hình phẳng cần tính là:

\[S = \int\limits_{ - 1}^3 {\left| {18f'\left( x \right) - 18g'\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = 18\int\limits_{ - 1}^3 {\left| {4 \cdot \frac{1}{6}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = 142.{\rm{ }}\]

Đáp án: 142.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

A. \(\left( { - \infty \,;\,\,5} \right).\)                  
B. \(\left( { - \infty \,;\,\,2} \right].\)                
C. \(\left( { - \infty \,;\,\,2} \right).\)     
D. \(\left( { - \infty \,;\,\,5} \right].\)

Lời giải

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 4m \cdot {x^3} + 16\left( {m - 6} \right)x \le 0\,;\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4x\left[ {m{x^2} + 4\left( {m - 6} \right)} \right] \le 0\,;\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow m{x^2} + 4m - 24 \le 0 \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 4} \right) \le 24 \Leftrightarrow m \le \frac{{24}}{{{x^2} + 4}}\,;\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow m \le {\min _{\left[ {1\,;\,\,2} \right]}}\left( {\frac{{24}}{{{x^2} + 4}}} \right) = 3\).

Mà \(m \in \left( { - 10\,;\,\,10} \right)\) suy ra có tất cả \(3 - \left( { - 9} \right) + 1 = 13\) giá trị nguyên của \(m\) cần tìm.

Chọn D.

Câu 2

A. 3.                              
B. 15.                            
C. \[ - 21.\]     
D. \[ - 3.\]

Lời giải

Ta có \(M\left( {1\,;\,\, - 5} \right)\) là một điểm cực trị của hàm số đã cho nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \cdot {1^3} + 4 \cdot {1^2} + b \cdot 1 + 1 =  - 5}\\{3a \cdot {1^2} + 8 \cdot 1 + b = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b =  - 10}\\{3a + b =  - 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b =  - 11}\end{array}} \right.} \right.} \right..\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} + 4{x^2} - 11x + 1 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 3.\) Chọn A.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A. 20.                            
B. 25.                            
C. \(\frac{{45}}{2}.\)             
D. \(\frac{{25}}{2}.\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP