Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25$ và đường thẳng $d:\frac{x}{3} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}.$ Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc trục tung, với tung độ là số nguyên, mà từ $M$ kẻ được đến $(S)$ hai tiếp tuyến cùng vuông góc với $d$?

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(\alpha ):ax - y + 2z + b = 0$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):x - y - z + 1 = 0$ và $(Q):x + 2y + z - 1 = 0.$ Giá trị của $a + 4b$ bằng

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + \left( {5 - m} \right)x$ đồng biến trên khoảng $\left( {2\,;\,\, + \infty } \right)$ là

Biết $M\left( {1\,;\,\, - 5} \right)$ là một điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + 4{x^2} + bx + 1.$ Giá trị $f\left( 2 \right)$ bằng

Cho các số thực dương $x \ne 1\,,\,\,y \ne 1$ thỏa mãn ${\log _2}x = {\log _y}16$ và tích $xy = 64.$ Giá trị của biểu thức ${\left( {{{\log }_2}\frac{x}{y}} \right)^2}$ là

Gọi $g\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \ln \left( {x - 1} \right).$ Cho biết $g\left( 2 \right) = 1$ và $g\left( 3 \right) = a\ln b$ trong đó $a,\,\,b$ là các số nguyên dương phân biệt. Giá trị của $T = 3{a^2} - {b^2}$ là

Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức $m\left( t \right) = {m_0} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{T}}}$, trong đó ${m_0}$ là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm $t = 0),$ $T$ là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cacbon $^{14}C$ là khoảng $5\,\,730$ năm. Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cacbon và xác định được nó đã mất khoảng $25\%$ lượng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu?