Trong không gian \[Oxyz,\] phương trình mặt cầu đi qua điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,4} \right)\] và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ là

Gọi \(I\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) là tâm của mặt cầu \((S).\)

Mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ

\[ \Rightarrow d\left( {I,\,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = d\left( {I,\,\,\left( {Oyz} \right)} \right) = d\left( {I,\,\,\left( {Oxz} \right)} \right) \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| = R\].

Mặt cầu \((S)\) đi qua \[A\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,4} \right)\] và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ.

Suy ra \(I\) và \(A\) phải cùng nằm trên một góc phần tám.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = R\\a > 0\,;\,\,c > 0\,;\,\,b < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = {R^2}\\a > 0\,;\,\,c > 0\,;\,\,b < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 4} \right)}^2} = {R^2}}\\{a = c =  - b = R > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(do\,\,(1))}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( { - a + 1} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2}\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{a^2} - 12a + 18 = 0\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 6a + 9 = 0\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c = 3\\b =  - 3\\R = 3\end{array} \right..\)

Do đó \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^3} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.\) Chọn B.