Câu hỏi:
12/07/2024 351
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{e^x} + 1\quad {\rm{ khi }}x \ge 0}\\{{x^2} - 2x + 2\quad {\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right..\] Biết \(I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{{e^2}} {\frac{{f(\ln x - 1)}}{x}{\rm{d}}x} = \frac{a}{b} + ce\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(a + b + c.\)
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{e^x} + 1\quad {\rm{ khi }}x \ge 0}\\{{x^2} - 2x + 2\quad {\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right..\] Biết \(I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{{e^2}} {\frac{{f(\ln x - 1)}}{x}{\rm{d}}x} = \frac{a}{b} + ce\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(a + b + c.\)
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt \(t = \ln x - 1 \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}.\)
Đổi cận \(x = \frac{1}{e} \Rightarrow t = - 2\) và \(x = {e^2} \Rightarrow t = 1.\)
Khi đó \(I = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)
\( = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + 1} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 2}^0 + \left. {\left( {{e^x} + x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{32}}{3} + e = \frac{a}{b} + ce{\rm{. }}\)
Suy ra \(a = 32\,,\,\,b = 3\,,\,\,c = 1.\) Vậy \(a + b + c = 36.\)
Đáp án: 36
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số Biết rằng đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( { - 1\,;\,\,7} \right)\) và giao điểm hai đường tiệm cận là \(\left( { - 2\,;\,\,3} \right).\) Giá trị của biểu thức \(\frac{{2a + 3b + 4c + d}}{{7c}}\) bằng\(f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R},\,\,c \ne 0} \right).\)
Xem đáp án »
26/06/2024
4,668
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left[ { - 10\,;\,\,10} \right]\] để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2{x^2} + 6x - m - 3}}\) có hai đường tiệm cận đứng?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left[ { - 10\,;\,\,10} \right]\] để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2{x^2} + 6x - m - 3}}\) có hai đường tiệm cận đứng?
Xem đáp án »
13/07/2024
4,115
Câu 3:
Trong không gian \[Oxyz,\] cho bốn điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,0\,;\,\,3} \right),\]\[C\left( { - 2\,;\,\,1\,;\,\,3} \right),\]\[D\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\]. Thể tích khối tứ diện \[ABCD\] bằng
Trong không gian \[Oxyz,\] cho bốn điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,0\,;\,\,3} \right),\]\[C\left( { - 2\,;\,\,1\,;\,\,3} \right),\]\[D\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\]. Thể tích khối tứ diện \[ABCD\] bằng
Xem đáp án »
26/06/2024
3,571
Câu 4:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 20\,;\,\,20} \right]\) để hàm số \(y = - {x^4} + 6{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 3\) có đúng một điểm cực trị?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 20\,;\,\,20} \right]\) để hàm số \(y = - {x^4} + 6{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 3\) có đúng một điểm cực trị?
Xem đáp án »
26/06/2024
1,870
Câu 5:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 5} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 5} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Xem đáp án »
26/06/2024
1,764
Câu 6:
Trong không gian \[Oxyz,\] phương trình mặt cầu đi qua điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,4} \right)\] và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ là
Xem đáp án »
26/06/2024
1,019
Câu 7:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} + 6x\,,\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\) và \(f(2) = 12.\) Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F(2) = 6\), khi đó giá trị biểu thức \(F\left( 5 \right) - 4F\left( 3 \right)\) bằng
Xem đáp án »
26/06/2024
853
về câu hỏi!