Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Chứng minh tứ giác OAO’B là hình thoi; từ đó, suy ra AB cắt OO’ tại trung điểm của mỗi đường.

a) Vì A, B ∈ (O; 3 cm) nên OA = OB = 3 cm.

Do đó ∆OAB cân tại O, suy ra  $\widehat{OBA}=\widehat{OAB}$ (1)

Vì A, C ∈ (O’; 2 cm) nên O’A = O’C = 2 cm.

Do đó ∆O’AC cân tại O’, suy ra $\widehat{O^{\text{'}}AC}=\widehat{O^{\text{'}}CA}$  (2)

Mà  (đối đỉnh) $\widehat{O^{\text{'}}AC}=\widehat{OAB}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{OBA}=\widehat{O^{\text{'}}CA}$  hay$\widehat{OBC}=\widehat{O^{\text{'}}CB}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB // O’C.

b) Vì OB // O’C nên theo định lí Thalès ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{OA}{O^{\text{'}}A}$  hay $\frac{5}{AC}=\frac{3}{2}.$

Do đó$AC=\frac{2\cdot 5}{3}=\frac{10}{3} \text{\hspace{0.17em}cm}.$

Gọi H là giao điểm của OO’ với AB (hình vẽ).

Ta có OA = OB (bán kính đường tròn tâm O) và O’A = O’B (bán kính đường tròn tâm O’)

Suy ra OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó OO’ ⊥ AB tại trung điểm H của AB.

Đặt OH = x (cm) thì O’H = OO’ – OH = 21 ‒ x (cm).

Xét ∆OAH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = AH² + OH², suy ra AH² = OA² ‒ OH².

Xét ∆O’AH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

O’A² = AH² + O’H², suy ra AH² = O’A² ‒ O’H².

Do đó OA² ‒ OH² = O’A² ‒ O’H²

Suy ra: 17² ‒ x² = 10² ‒ (21 ‒ x)²

289 – x² = 100 – 441 + 42x – x²

42x = 630

x = 15 (cm).

Do đó AH² = OA² ‒ OH² = 17² – x² = 17² – 15² = 64.

Suy ra$AH=\sqrt{64}=8 \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm.}$

Mà H là trung điểm của AB nên AB = 2AH = 2.8 = 16 cm.

Vậy AB = 16 cm.