Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho tam giác ABC vuông tại A có \(B\left( {0\,;\,\,5} \right),\,\,C\left( {4\,;\,\,2} \right).\) Đường thẳng đi qua \[A\] vuông góc với \[BC\] và đi qua \(H\left( {1\,;\,\, - \frac{1}{3}} \right).\) Tìm tọa độ điểm \[A,\] biết điểm \[A\] có tung độ nguyên. 

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {4\,;\,\, - 3} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - x\,;\,\,5 - y} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {4 - x\,;\,\,2 - y} \right)\)

Vì \(d\) đi qua \(H\) và vuông góc với \[BC\] nên \(d:4x - 3y - 5 = 0\)

Vì \(d\) đi qua \(A\) nên \(4{x_A} - 3{y_A} - 5 = 0 \Leftrightarrow {x_A} = \frac{{5 + 3{y_A}}}{4}\)

ABC vuông tại \(A\) nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 7y + 10 = 0\)

Thay (1) vào (2) ta được \({\left( {\frac{{5 + 3{y_A}}}{4}} \right)^2} + y_A^2 - 4 \cdot \frac{{5 + 3{y_A}}}{4} - 7{y_A} + 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{25}}{{26}}y_A^2 - \frac{{65}}{8}{y_A} + \frac{{105}}{{16}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_A} = \frac{{21}}{{15}}}\\{{y_A} = 1}\end{array}} \right.\).

Do tung độ của \(A\) nguyên nên \({y_A} = 1 \Rightarrow {x_A} = 2.\)

Vậy \(A\left( {2\,;\,\,1} \right).\) Chọn A.