Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} - ax - b} \right) = 0\) với \[a\,,\,\,b\] là các số hữu tỉ. Tính \(a - 4b.\)

Đáp án: ……….

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} - ax - b} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4{x^2} - 3x + 1 - {{(ax + b)}^2}}}{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} + ax + b}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4{x^2} - 3x + 1 - {a^2}{x^2} - 2abx - {b^2}}}{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} + ax + b}} = 0\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {4 - {a^2}} \right){x^2} - (3 + 2ab)x + 1 - {b^2}}}{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} + ax + b}} = 0\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - {a^2} = 0}\\{a > 0}\\{3 + 2ab = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{4b = - 3}\end{array} \Leftrightarrow a - 4b = 5} \right.} \right..\)

Đáp án: 5.