Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a,\,\,AA' = \sqrt 2 .\) Góc giữa đường thẳng \(A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) bằng bao nhiêu độ?

Đáp án: ……….

Gọi \[M\] là trung điểm \[AB.\] Do tam giác \[ABC\] đều nên \(CM \bot AB.\)

Lại có \(CM \bot A'A\) nên suy ra

\[CM \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {A'C,\,\,\left( {ABB'A'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'C,\,\,A'M} \right)} = \widehat {MA'C}\]

Ta có \(A'C = \sqrt {A'{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {2{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 \) và \(CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Trong tam giác vuông \(CM'A\), ta có:

\(\sin \widehat {MA'C} = \frac{{MC}}{{A'C}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {MA'C} = 30^\circ {\rm{.}}\)