Ông A sử dụng hết \[5\,\,{m^2}\] kính để làm bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu \[{m^3}?\] (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: ……….

Gọi chiều rộng của bể cá là \(a\,\,(m),\,\,a > 0.\)

Suy ra chiều dài của bể cá là \(2a\,\,(m).\)

Diện tích xung quanh của bể cá là \({S_{xq}} = 2h\left( {a + 2a} \right) = 6ah.\)

Diện tích đáy của bể cá là \(2{a^2}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Do đó, tổng diện tích kính để làm bể cá là \(6ah + 2{a^2} = 5 \Leftrightarrow h = \frac{{5 - 2{a^2}}}{{6a}}\).

Thể tích của bể cá là \(V = h \cdot a \cdot 2a = 2h{a^2} = 2{a^2} \cdot \frac{{5 - 2{a^2}}}{{6a}} = \frac{1}{3}\left( {5a - 2{a^3}} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( a \right) = 5a - 2{a^3}\) với \(a > 0\).

Suy ra giá trị lớn nhất của \(f\left( a \right)\) là \(f\left( {\sqrt {\frac{5}{6}} } \right) = \frac{{5\sqrt {30} }}{9}\).

Vậy bể cá có dung tích lớn nhất bằng \(\frac{1}{3} \cdot \frac{{5\sqrt {30} }}{9} \approx 1,01\,\,\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Đáp án: \[{\bf{1}},{\bf{01}}.\]