Người ta muốn làm một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều có cạnh 10 cm và chia thành 7 ngăn gồm một lục giác đều nhỏ và 6 hình thang cân như hình dưới đây. Hỏi lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng bao nhiêu để nó có diện tích bằng hai lần diện tích mỗi hình thang?

Tổng các góc trong tam giác ADE bằng 180° nên:

\[\widehat A + \widehat D = 180^\circ - \widehat E = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ .\]

Do vậy \(\frac{1}{2}\left( {\widehat {BOC} + \widehat {COD}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOB} + \widehat {BOC}} \right) = 140^\circ .\)

Suy ra \[\frac{1}{2}\left( {360^\circ + \widehat {BOC} - \widehat {DOA}} \right) = 140^\circ ,\] hay \(\widehat {DOA} - \widehat {BOC} = 80^\circ .\) (1)

Tổng các góc trong tam giác ABF bằng 180° nên:

\(\widehat A + \widehat B = 180^\circ - \widehat F = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ .\)

Do vậy \(\frac{1}{2}\left( {\widehat {BOC} + \widehat {COD}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\widehat {COD} + \widehat {DOA}} \right) = 160^\circ .\)

Suy ra \(\frac{1}{2}\left( {360^\circ + \widehat {COD} - \widehat {AOB}} \right) = 160^\circ ,\) hay \(\widehat {AOB} - \widehat {COD} = 40^\circ .\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

\(\widehat {AOB} + \widehat {DOA} - \widehat {COD} - \widehat {BOC} = 80^\circ + 40^\circ = 120^\circ ,\) hay  

Chú ý rằng $sđ\stackrel{⏜}{DAB}+sđ\stackrel{⏜}{BCD}=360°.$

Suy ra  $\widehat{C}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{DAB}=\frac{120°+360°}{4}=120°, \widehat{A}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}sđ\stackrel{⏜}{BCD}=\frac{{\displaystyle 360°-120°}}{{\displaystyle 4}}=60°.$

Trừ vế với vế của (1) cho (2), ta được:

\[\widehat {DOA} + \widehat {COD} - \widehat {AOB} - \widehat {BOC} = 80^\circ - 40^\circ = 40^\circ ,\] hay  

Chú ý rằng $sđ\stackrel{⏜}{CDA}+sđ\stackrel{⏜}{ABC}=360°.$

Suy ra  $\widehat{B}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{CDA}=\frac{40°+360°}{4}=100°, \widehat{D}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{ABC}=\frac{360°-40°}{4}=80°.$