Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F như sau đây. Biết \[\widehat {BEC} = 40^\circ \] và \(\widehat {DFC} = 20^\circ ,\) tính số đo các góc của tứ giác ABCD.

Tổng các góc trong tam giác ADE bằng 180° nên:

\[\widehat A + \widehat D = 180^\circ - \widehat E = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ .\]

Do vậy \(\frac{1}{2}\left( {\widehat {BOC} + \widehat {COD}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOB} + \widehat {BOC}} \right) = 140^\circ .\)

Suy ra \[\frac{1}{2}\left( {360^\circ + \widehat {BOC} - \widehat {DOA}} \right) = 140^\circ ,\] hay \(\widehat {DOA} - \widehat {BOC} = 80^\circ .\) (1)

Tổng các góc trong tam giác ABF bằng 180° nên:

\(\widehat A + \widehat B = 180^\circ - \widehat F = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ .\)

Do vậy \(\frac{1}{2}\left( {\widehat {BOC} + \widehat {COD}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\widehat {COD} + \widehat {DOA}} \right) = 160^\circ .\)

Suy ra \(\frac{1}{2}\left( {360^\circ + \widehat {COD} - \widehat {AOB}} \right) = 160^\circ ,\) hay \(\widehat {AOB} - \widehat {COD} = 40^\circ .\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

\(\widehat {AOB} + \widehat {DOA} - \widehat {COD} - \widehat {BOC} = 80^\circ + 40^\circ = 120^\circ ,\) hay  

Chú ý rằng $sđ\stackrel{⏜}{DAB}+sđ\stackrel{⏜}{BCD}=360°.$

Suy ra  $\widehat{C}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{DAB}=\frac{120°+360°}{4}=120°, \widehat{A}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}sđ\stackrel{⏜}{BCD}=\frac{{\displaystyle 360°-120°}}{{\displaystyle 4}}=60°.$

Trừ vế với vế của (1) cho (2), ta được:

\[\widehat {DOA} + \widehat {COD} - \widehat {AOB} - \widehat {BOC} = 80^\circ - 40^\circ = 40^\circ ,\] hay  

Chú ý rằng $sđ\stackrel{⏜}{CDA}+sđ\stackrel{⏜}{ABC}=360°.$

Suy ra  $\widehat{B}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{CDA}=\frac{40°+360°}{4}=100°, \widehat{D}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{ABC}=\frac{360°-40°}{4}=80°.$