Cho tam giác ABC có AB = AC = 12 cm và \(\widehat {BAC} = 120^\circ .\) Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC.

Do AH là đường cao tam giác ABC nên AH ⊥ BC, suy ra \[\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \]

Ta có \(\widehat {ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) đường kính AD nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ .\)

Xét ∆AHB và ∆ACD có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = 90^\circ ;\)

\(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn (O)).

Do đó ∆AHB ᔕ ∆ACD (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) hay AB.AC = AH.AD.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai tam giác vuông ABC và ADC có chung cạnh huyền AC, do đó chúng cùng có đường tròn ngoại tiếp là (O; R) với tâm O là trung điểm của AC và bán kính bằng \[R = \frac{{AC}}{2}\,.\]

Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABC vuông tại B, ta có:

AC² = AB² + BC² = 5² + 12² = 169.

Suy ra \[AC = \sqrt {169} = 13\] (cm).

Do đó \[R = \frac{{AC}}{2}\,\, = \frac{{13}}{2} = 6,5\;\] (cm).