Cho tam giác đều MNP có cạnh bằng \(2a\sqrt 3 .\) Tính theo a bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác MNP.

Gọi G là trọng tâm, MH là đường cao của tam giác đều MNP.

Khi đó, đường tròn (G; GM) là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP; đường tròn (G; GH) là đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP.

Xét ∆MNP đều có MH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, hay H là trung điểm của NP, do đó \[NH = PH = \frac{1}{2}NP = \frac{1}{2} \cdot 2a\sqrt 3  = a\sqrt 3 .\]

Xét ∆MNH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

MN2 = MH2 + NH2

Suy ra \(M{H^2} = M{N^2} - N{H^2} = {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = 3a.\)

Do đó \(MG = \frac{2}{3}MH = \frac{2}{3} \cdot 3a = 2a;\,\,GH = \frac{1}{3}MH = \frac{1}{3} \cdot 3a = a.\)

Vậy bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác MNP lần lượt là 2a và a.