Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5 cm, AD = 12 cm. Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ADC.

Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB và AC cắt nhau tại điểm O.

Khi đó OA = OB và OA = OC.

Do đó R = OA = OB = OC, suy ra đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có AB = AC và OB = OC nên OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực OA của tam giác cũng là tia phân giác của góc BAC, suy ra \(\widehat {OAB} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ  = 60^\circ .\)

Xét ∆OAB cân tại O (OA = OB) có \(\widehat {OAB} = 60^\circ \) nên tam giác OAB là tam giác đều.

Vậy R = OA = AB = 12 (cm).

Do AH là đường cao tam giác ABC nên AH ⊥ BC, suy ra \[\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \]

Ta có \(\widehat {ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) đường kính AD nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ .\)

Xét ∆AHB và ∆ACD có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = 90^\circ ;\)

\(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn (O)).

Do đó ∆AHB ᔕ ∆ACD (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) hay AB.AC = AH.AD.