Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số).

1) Giải phương trình  với \(m = 1.\)

2) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn:

\(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.\)

1) Với \(m = 1,\) thay vào phương trình ta được:

\({x^2} - x = 0\) hay \(x\left( {x - 1} \right) = 0\) nên \(x = 0\) hoặc \(x = 1.\)

Vậy với \(m = 1\) thì phương trình có hai nghiệm là \(x = 0;\,\,x = 1.\)

2) Phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\) có:

\(\Delta  = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 4 =  - 4m + 5.\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta  > 0,\) tức là \( - 4m + 5 > 0\) hay \(m < \frac{5}{4}.\)

Như vậy, với \(m < \frac{5}{4}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1.\end{array} \right.\)

Theo bài, \(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9\)

\({x_1}{x_2} - 2x_1^2 - 2x_2^2 + 4{x_1}{x_2} = 9\)

\(5{x_1}{x_2} - 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 9\)

\(9{x_1}{x_2} - 2\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 9 = 0\)

\(9{x_1}{x_2} - 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 9 = 0.\,\,\,\left( * \right)\)

Thay \[{x_1} + {x_2} = 2m - 1\] và \[{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\] vào \(\left( * \right)\) ta được:

\(9\left( {{m^2} - 1} \right) - 2{\left( {2m - 1} \right)^2} - 9 = 0\)

\(9{m^2} - 9 - 2\left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) - 9 = 0\)

\({m^2} + 8m - 20 = 0\)

\(m = 2\) hoặc \(m =  - 10.\)

Ta thấy chỉ có giá trị \(m =  - 10\) thỏa mãn \(m < \frac{5}{4}.\)

Vậy \(m =  - 10.\)