Câu hỏi:
29/08/2024 24
Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số).
1) Giải phương trình với \(m = 1.\)
2) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn:
\(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.\)
Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số).
1) Giải phương trình với \(m = 1.\)
2) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn:
\(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.\)
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Với \(m = 1,\) thay vào phương trình ta được:
\({x^2} - x = 0\) hay \(x\left( {x - 1} \right) = 0\) nên \(x = 0\) hoặc \(x = 1.\)
Vậy với \(m = 1\) thì phương trình có hai nghiệm là \(x = 0;\,\,x = 1.\)
2) Phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\) có:
\(\Delta = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 4 = - 4m + 5.\)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0,\) tức là \( - 4m + 5 > 0\) hay \(m < \frac{5}{4}.\)
Như vậy, với \(m < \frac{5}{4}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1.\end{array} \right.\)
Theo bài, \(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9\)
\({x_1}{x_2} - 2x_1^2 - 2x_2^2 + 4{x_1}{x_2} = 9\)
\(5{x_1}{x_2} - 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 9\)
\(9{x_1}{x_2} - 2\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 9 = 0\)
\(9{x_1}{x_2} - 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 9 = 0.\,\,\,\left( * \right)\)
Thay \[{x_1} + {x_2} = 2m - 1\] và \[{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\] vào \(\left( * \right)\) ta được:
\(9\left( {{m^2} - 1} \right) - 2{\left( {2m - 1} \right)^2} - 9 = 0\)
\(9{m^2} - 9 - 2\left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) - 9 = 0\)
\({m^2} + 8m - 20 = 0\)
\(m = 2\) hoặc \(m = - 10.\)
Ta thấy chỉ có giá trị \(m = - 10\) thỏa mãn \(m < \frac{5}{4}.\)
Vậy \(m = - 10.\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
1) Mảnh vườn nhà ông An có hình dạng là tứ giác \(ABCD\) (như hình vẽ). Biết \(AB\) vuông góc với \(CD\) tại \(H;\) \(AB = 4{\rm{\;m;}}\) \(BC = 26{\rm{\;m}};\) \(CD = 16{\rm{\;m;}}\) \(\sin \widehat {BCD} = \frac{5}{{13}}.\)
Tính diện tích của mảnh vườn (phần tô đậm).
2) Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\,\,AB < AC.\) Tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(M.\) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)
a) Chứng minh rằng các điểm \(A,\,\,O,\,\,H,\,\,M\) cùng nằm trên một đường tròn và \(M{A^2} = MB \cdot MC.\)
b) Từ điểm \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(MO\) cắt đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \[K.\] Chứng minh \(HK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(CD.\)
1) Mảnh vườn nhà ông An có hình dạng là tứ giác \(ABCD\) (như hình vẽ). Biết \(AB\) vuông góc với \(CD\) tại \(H;\) \(AB = 4{\rm{\;m;}}\) \(BC = 26{\rm{\;m}};\) \(CD = 16{\rm{\;m;}}\) \(\sin \widehat {BCD} = \frac{5}{{13}}.\)
Tính diện tích của mảnh vườn (phần tô đậm).
2) Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\,\,AB < AC.\) Tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(M.\) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)
a) Chứng minh rằng các điểm \(A,\,\,O,\,\,H,\,\,M\) cùng nằm trên một đường tròn và \(M{A^2} = MB \cdot MC.\)
b) Từ điểm \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(MO\) cắt đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \[K.\] Chứng minh \(HK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(CD.\)
Xem đáp án »
29/08/2024
827
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 4{\rm{\;cm}}\) và \(AC = 4\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có chu vi bằng
Xem đáp án »
29/08/2024
81
Câu 3:
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y = 2.\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y = 2.\end{array} \right.\)
Xem đáp án »
29/08/2024
57
Câu 4:
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (với \(B,\,\,C\) là các tiếp điểm), biết \(\widehat {BAC} = 50^\circ .\) Số đo cung nhỏ \(BC\) là
Xem đáp án »
29/08/2024
46
Câu 5:
Tìm \(m\) để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right)x + 2 - m\) (với \(m\) là hàm số) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Xem đáp án »
29/08/2024
45
Câu 6:
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\2x + y = - 5\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là
Xem đáp án »
29/08/2024
45
về câu hỏi!