Cho phương trình ${x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0$ (với $m$ là tham số).

1) Giải phương trình  với $m = 1.$

2) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn:

$\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.$

1) Với $m = 1,$ thay vào phương trình ta được:

${x^2} - x = 0$ hay $x\left( {x - 1} \right) = 0$ nên $x = 0$ hoặc $x = 1.$

Vậy với $m = 1$ thì phương trình có hai nghiệm là $x = 0;\,\,x = 1.$

2) Phương trình ${x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0$ có:

$\Delta  = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 4 =  - 4m + 5.$

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta  > 0,$ tức là $- 4m + 5 > 0$ hay $m < \frac{5}{4}.$

Như vậy, với $m < \frac{5}{4}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}.$

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1.\end{array} \right.$

Theo bài, $\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9$

${x_1}{x_2} - 2x_1^2 - 2x_2^2 + 4{x_1}{x_2} = 9$

$5{x_1}{x_2} - 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 9$

$9{x_1}{x_2} - 2\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 9 = 0$

$9{x_1}{x_2} - 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 9 = 0.\,\,\,\left( * \right)$

Thay ${x_1} + {x_2} = 2m - 1$ và ${x_1}{x_2} = {m^2} - 1$ vào $\left( * \right)$ ta được:

$9\left( {{m^2} - 1} \right) - 2{\left( {2m - 1} \right)^2} - 9 = 0$

$9{m^2} - 9 - 2\left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) - 9 = 0$

${m^2} + 8m - 20 = 0$

$m = 2$ hoặc $m =  - 10.$

Ta thấy chỉ có giá trị $m =  - 10$ thỏa mãn $m < \frac{5}{4}.$

Vậy $m =  - 10.$