Câu hỏi:

29/08/2024 830

1) Mảnh vườn nhà ông An có hình dạng là tứ giác \(ABCD\) (như hình vẽ). Biết \(AB\) vuông góc với \(CD\) tại \(H;\) \(AB = 4{\rm{\;m;}}\) \(BC = 26{\rm{\;m}};\) \(CD = 16{\rm{\;m;}}\) \(\sin \widehat {BCD} = \frac{5}{{13}}.\)
1) Mảnh vườn nhà ông An có hình dạng là tứ giác ABCD (như hình vẽ). Biết AB vuông góc với CD tại H AB = 4m BC = 36m CD= 16m  (ảnh 1)

Tính diện tích của mảnh vườn (phần tô đậm).

2) Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\,\,AB < AC.\) Tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(M.\) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)

a) Chứng minh rằng các điểm \(A,\,\,O,\,\,H,\,\,M\) cùng nằm trên một đường tròn và \(M{A^2} = MB \cdot MC.\)

b) Từ điểm \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(MO\) cắt đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \[K.\] Chứng minh \(HK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(CD.\)

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
1) Mảnh vườn nhà ông An có hình dạng là tứ giác ABCD (như hình vẽ). Biết AB vuông góc với CD tại H AB = 4m BC = 36m CD= 16m  (ảnh 2)

1) Tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\) có:

\[BH = BC \cdot \sin \widehat {BCD} = 26 \cdot \frac{5}{{13}} = 10{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác này, ta được: \[B{C^2} = B{H^2} + H{C^2}\]

Suy ra \[H{C^2} = B{C^2}--B{H^2} = {26^2}--{10^2} = 576.\]

Do đó \(HC = \sqrt {576}  = 24{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Ta có: \(HA = BH - AB = 10 - 4 = 6{\rm{\;(m);}}\) \(HD = HC - CD = 24 - 16 = 8{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích vườn là: \({S_{ABCD}} = {S_{\Delta HBC}} - {S_{\Delta HAD}} = \frac{1}{2} \cdot HB \cdot HC - \frac{1}{2} \cdot HA \cdot HD\)

\( = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 - \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 120 - 24 = 96\) (m2).

2)

1) Mảnh vườn nhà ông An có hình dạng là tứ giác ABCD (như hình vẽ). Biết AB vuông góc với CD tại H AB = 4m BC = 36m CD= 16m  (ảnh 3)

a) ⦁ Ta có: \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) nên \(OA \bot AM\) do đó \(\widehat {MAO} = 90^\circ .\)

Suy ra điểm \(A\) nằm trên đường tròn đường kính \(MO.\)

Ta có \(OB = OC\) nên \(O\) nằm trên đường trung trực của \(BC,\) lại có \(H\) là trung điểm của \(BC.\) Do đó \(OH\) là đường trung trực của \(BC\) nên \(OH \bot BC\) hay \(\widehat {MHO} = 90^\circ .\) Suy ra điểm \(H\) nằm trên đường tròn đường kính \(MO.\)

Như vậy, các điểm \(A,M,O,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MO.\)

⦁ Ta có \(\widehat {MAB} + \widehat {BAO} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {MAB} = 90^\circ  - \widehat {BAO}.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) (do \(OA = OB)\) nên \[\widehat {BAO} = \widehat {ABO} = \frac{{180^\circ  - \widehat {AOB}}}{2} = 90^\circ  - \frac{1}{2}\widehat {AOB}.\]

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(AB)\)

Suy ra \[\widehat {BAO} = 90^\circ  - \widehat {ACB}\] hay \[\widehat {ACB} = 90^\circ  - \widehat {BAO}.\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {MAB} = \widehat {ACB}.\)

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA\) có: \(\widehat {AMC}\) là góc chung và \(\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\) (chứng minh trên)

Do đó  (g.g), suy ra \(\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) hay \(M{A^2} = MB \cdot MC.\)

b)

Chứng minh bổ đề: Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}.\) Chứng minh tứ giác \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

• Giả sử \(\Delta ABC\) có đường tròn ngoại tiếp tâm \(O\) và đường kính \(AK\) nên tứ giác \(ABCK\) nội tiếp, suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {AKB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB).\)

Mà \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\) (giả thiết) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {AKB}.\) \(\left( 1 \right)\)

⦁ Gọi \(F\) là giao điểm của \(AK\) và \(BD,\) \(F\) nằm trong đường tròn \(\left( O \right).\) 

1) Mảnh vườn nhà ông An có hình dạng là tứ giác ABCD (như hình vẽ). Biết AB vuông góc với CD tại H AB = 4m BC = 36m CD= 16m  (ảnh 4)

Xét \(\Delta AFD\) và \(\Delta BFK\) có: \(\widehat {AFD} = \widehat {BFK}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {ADF} = \widehat {BKF}\) (chứng minh trên)

Do đó  suy ra \(\frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{DF}}{{KF}}\) nên \(\frac{{AF}}{{DF}} = \frac{{BF}}{{KF}}.\)

Xét \(\Delta DFK\) và \(\Delta AFB\) có: \(\frac{{AF}}{{DF}} = \frac{{BF}}{{KF}}\) và \[\widehat {DFK} = \widehat {AFB}\] (đối đỉnh)

Do đó  suy ra \(\widehat {FDK} = \widehat {FAB}.\,\,\,\left( 2 \right)\)

⦁ Ta có \(\widehat {ABK}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ABK} = 90^\circ ,\) do đó \(\Delta ABK\) vuông tại \(B,\) suy ra \(\widehat {FAB} + \widehat {AKB} = 90^\circ .\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)\) suy ra \(\widehat {ADB} + \widehat {FDK} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ADK} = 90^\circ .\)

Khi đó \(\Delta ADK\) vuông tại \(D\) nên điểm \(D\) nằm trên đường tròn đường kính \(AK.\)

Suy ra tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AK.\)

Tứ giác \(AOHM\) nội tiếp nên \(\widehat {HAO} = \widehat {HMO}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HO)\)

Vì \[CK\,{\rm{//}}\,MO\] nên \[\widehat {KCM} = \widehat {OMC}\] (hai góc so le trong)

Do đó \[\widehat {KAH} = \widehat {KCH}.\] Từ bổ đề đã chứng minh ở trên, ta suy ra được tứ giác \[AHKC\] nội tiếp.

Suy ra \[\widehat {AKH} = \widehat {ACH}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AH)\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ACH} = \widehat {ACB} = \widehat {ADB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB)\)

Suy ra \(\widehat {AKH} = \widehat {ADB}.\) Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(HK\,{\rm{//}}\,BD.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(HK\) và \(CD.\)

Xét \(\Delta BCD\) có \(H\) là trung điểm của \(BC\) và \(HI\,{\rm{//}}\,BD\) nên \(HI\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(I\) là trung điểm của \(CD.\)

Vậy \(HK\) đi qua trung điểm của \(CD.\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 4{\rm{\;cm}}\) và \(AC = 4\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có chu vi bằng 

Xem đáp án » 29/08/2024 82

Câu 2:

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y = 2.\end{array} \right.\)

Xem đáp án » 29/08/2024 57

Câu 3:

Tìm \(m\) để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right)x + 2 - m\) (với \(m\) là hàm số) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) 

Xem đáp án » 29/08/2024 46

Câu 4:

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\2x + y =  - 5\end{array} \right.\)  có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là

Xem đáp án » 29/08/2024 46

Câu 5:

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (với \(B,\,\,C\) là các tiếp điểm), biết \(\widehat {BAC} = 50^\circ .\) Số đo cung nhỏ \(BC\) là 

Xem đáp án » 29/08/2024 46

Câu 6:

Điều kiện xác định của biểu thức \(\frac{5}{{\sqrt x  - 3}}\) là

Xem đáp án » 29/08/2024 40

Bình luận


Bình luận
Đăng ký gói thi VIP

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

tailieugiaovien.com.vn