Một nhóm nghiên cứu đã đo mức độ ồn của các phương tiện giao thông trên hai đường phố vào một ngày trong tuần, trong khoảng thời gian từ 5 giờ 30 phút đến 20 giờ 30 phút. Người ta đã thực hiện 92 lần đo ở mỗi con đường vào khoảng thời gian như nhau. Kết quả thống kê được ghi lại như trong bảng sau:

Hãy so sánh độ phân tán mức độ ồn của cá phương tiệm giao thông ở hai đường phố trên:

a) theo khoảng biến thiên;

b) theo khoảng tứ phân vị;

c) theo phương sai.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về mức độ ồn trên đường I là:

R_I = 79 – 59 = 20 (dB).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về mức độ ồn trên đường II là:

R_II = 83 – 55 = 28 (dB).

So sánh theo khoảng biến thiên, mức độ ồn trên đường II phân tán hơn trên đường I.

b) Với mẫu số liệu ở đường I:

Cỡ mẫu n = 92

Có: \(\frac{n}{4} = \frac{{92}}{4} = 23\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [67; 71).

Do đó, Q₁ = 67 + \(\frac{{23 - \left( {4 + 11} \right)}}{{41}}\left( {71 - 67} \right)\) = \(\frac{{2779}}{{41}}\).

Có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.92}}{4} = 69\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [71; 75).

Do đó, Q₃ = 71 + \(\frac{{69 - \left( {4 + 11 + 41} \right)}}{{25}}\left( {75 - 71} \right)\) = \(\frac{{1827}}{{25}}\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm tại Quy Nhơn là:

∆Q_I = Q₃ – Q₁ = \(\frac{{1827}}{{25}}\) – \(\frac{{2779}}{{41}}\) ≈ 5,3.

Với mẫu số liệu ở đường II:

Có: \(\frac{n}{4} = \frac{{92}}{4} = 23\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [67; 71).

Do đó, Q₁ = 67 + \(\frac{{23 - 5}}{{19}}\left( {71 - 67} \right)\) = \(\frac{{1345}}{{19}}\).

Có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.92}}{4} = 69\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [75; 79).

Do đó, Q₃ = 75 + \(\frac{{69 - \left( {5 + 19 + 43} \right)}}{{18}}\left( {79 - 75} \right)\) = \(\frac{{679}}{9}\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm tại Quy Nhơn là:

∆Q_II = Q₃ – Q₁ = \(\frac{{679}}{9}\) – \(\frac{{1345}}{{19}}\) ≈ 4,65.

So sánh theo khoảng tứ phân vị, mức độ ồn trên đường I phân tán hơn trên đường II.

c) Phương sai

Ta có bảng giá trị đại diện như sau:

Với số liệu ở đường I, ta có:

Số trung bình của mẫu số liệu là:

\({\overline x _I}\) = \(\frac{{61.4 + 65.11 + 69.41 + 73.25 + 77.11}}{{92}}\) = \(\frac{{1615}}{{23}}\).

Phương sai của mẫu số liệu ở đường I là:

\(s_I^2\) = \(\frac{{{{61}^2}.4 + {{65}^2}.11 + {{69}^2}.41 + {{73}^2}.25 + {{77}^2}.11}}{{92}} - {\left( {\frac{{1615}}{{23}}} \right)^2}\) ≈ 15,21.

Với số liệu ở đường II, ta có:

Số trung bình của mẫu số liệu là:

\({\overline x _{II}}\) = \(\frac{{57.5 + 69.19 + 73.43 + 77.18 + 81.7}}{{92}}\) = \(\frac{{1672}}{{23}}\).

Phương sai của mẫu số liệu ở đường II là:

\(s_{II}^2\) = \(\frac{{{{57}^2}.5 + {{69}^2}.19 + {{73}^2}.43 + {{77}^2}.18 + {{81}^2}.7}}{{92}} - {\left( {\frac{{1672}}{{23}}} \right)^2}\) ≈ 25,12.

So sánh theo phương sai, mức độ ồn trên đường II phân tán hơn trên đường I.