Chứng minh rằng với mọi số a, b ta có $\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab$.

Viết bắt đẳng thức để mô tả tình huống sau:

a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội.

b) Một thang máy chở được tối đa 700 kg.

c) Bạn phải mua hàng có tổng giá trị ít nhất 1 triệu đồng mới được giảm giá.

d) Bạn phải ném vào rổ ít nhắt 5 quả bóng mới vào được đội tuyển bóng rổ.

Cho a > b > 0, chứng minh rằng

a) a² > ab và ab > a²;

b) a² > b² và a³ > b³.

Chú ý: Tính chất "Với a > b > 0 thì a² > b² và a³ > b³" thường hay dùng trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức.

So sánh:

a) $-\frac{2019}{1010}$ và $-\frac{201}{100}$;

b) $\frac{{2024}^2-1}{2024}$ và $\frac{{2025}^2+1}{2025}$.

Cho a > b, hãy so sánh:

a) 20a + 5b và 20b + 5a;

b) –3(a + b) – 1 và –6b – 1.

Khi đi trên tuyến cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh – Trung Lương, chúng ta thấy biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà xe ô tô được phép đi trong điều kiện bình thường. Hãy viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép của ô tô

a) ở làn ngoài cùng bên trái và ở làn giữa;

b) ở làn ngoài cùng bên phải.

Chứng minh rằng: Trong ba số tự nhiên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.