Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \(\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)\left( {3 + 5x} \right) = 0.\)   b)         \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}.\)

c) \[ - 4x + 3 \le 3x - 1.\]                                     d) \[\frac{{2x + 4}}{3} - \frac{{4x - 7}}{{18}} > \frac{{2x - 5}}{9} - \frac{{2x - 1}}{{15}}.\]

a) \(\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)\left( {3 + 5x} \right) = 0\)

\(\frac{1}{2}x - 1 = 0\) hoặc \(3 + 5x = 0\)

 \(\frac{1}{2}x = 1\) hoặc \(5x = - 3\)

    \(x = 2\) hoặc \(x = - \frac{3}{5}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 2;\) \(x = - \frac{3}{5}\).

b) Điều kiện xác định: \(x \ne 2,\,\,\,x \ne - 2.\)

\(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}\)

\(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\({\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} + 16\)

\({x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = {x^2} + 16\)

\({x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = {x^2} + 16\)

\({x^2} - 8x + 16 = 0\)

\({\left( {x - 4} \right)^2} = 0\)

\(x - 4 = 0\)

\(x = 4\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 4\).

c) \[ - 4x + 3 \le 3x - 1\]

\[ - 4x - 3x \le - 1 - 3\]

        \[ - 7x \le - 4\]

             \[x \ge \frac{4}{7}.\]

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x \ge \frac{4}{7}.\]

d) \[\frac{{2x + 4}}{3} - \frac{{4x - 7}}{{18}} > \frac{{2x - 5}}{9} - \frac{{2x - 1}}{{15}}\]

\[\frac{{30\left( {2x + 4} \right)}}{{90}} - \frac{{5\left( {4x - 7} \right)}}{{90}} > \frac{{10\left( {2x - 5} \right)}}{{90}} - \frac{{6\left( {2x - 1} \right)}}{{90}}\]

\[30\left( {2x + 4} \right) - 5\left( {4x - 7} \right) > 10\left( {2x - 5} \right) - 6\left( {2x - 1} \right)\]

\[60x + 120 - 20x + 35 > 20x - 50 - 12x + 6\]

\[60x - 20x - 20x + 12x > - 50 + 6 - 120 - 35\]

\[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,32x > - 199\]

\[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x > \frac{{ - 199}}{{32}}\]

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x > \frac{{ - 199}}{{32}}.\]