Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\).

Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập hợp các đỉnh của hình chóp tứ giác, có bao nhiêu vectơ có giá nằm trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)?

Gọi \[{A_1},\,{B_1},\,{C_1},\,{D_1}\] lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow {E{A_1}}  = \overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {E{B_1}}  = \overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {E{C_1}}  = \overrightarrow {{F_3}} ,\,\overrightarrow {E{D_1}}  = \overrightarrow {{F_4}} \).

Do các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} ,\,\overrightarrow {{F_4}} \) đều có cường độ là \(4\,500\) N nên

\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_4}} } \right| = 4\,500\) (N).

Gọi \(O\) là tâm của hình chữ nhật \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\). Khi đó, \(O\) là trung điểm của \({A_1}{C_1}\) và \({B_1}{D_1}\).

Sử dụng quy tắc trung điểm ta có: \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = 2\overrightarrow {EO} \) và \(\overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_4}}  = 2\overrightarrow {EO} \).

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{F_4}}  = 4\overrightarrow {EO} \).

Mặt khác, do các cạnh \(EA,\,EB,\,EC,\,ED\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc bằng \(60^\circ \) nên \(\widehat {E{A_1}O} = \widehat {E{B_1}O} = \widehat {E{C_1}O} = \widehat {E{D_1}O} = 60^\circ \), do đó tam giác \(E{A_1}{C_1}\) là tam giác đều cạnh \(4\,500\) (N) với đường cao \(EO = 2\,250\sqrt 3 \) (N).

Do khung sắt ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{F_4}}  = \overrightarrow P \) với \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác dụng lên chiếc xe ô tô và khung sắt. Ta tính được tổng trọng lực có độ lớn là \(4\left| {\overrightarrow {EO} } \right| = 9\,000\sqrt 3 \) (N).

Vậy trọng lượng của ô tô bằng \(9\,000\sqrt 3  - 2\,700 \approx 12\;888\) (N).

Đáp số: \(12\,888\).

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' > 0\) với mọi \(x \ne  - 1\).

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Do đó, ý b) đúng.

– Tiệm cận:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2\). Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = 2\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} =  - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} =  + \infty \). Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 1\).

Vậy ý c) đúng.

– Gọi \({x_0}\) là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó, hệ số góc của tiếp tuyến này là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\).

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = x\) có hệ số góc là \(k = 1\) nên

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 1\), suy ra \({x_0} =  - 1 + \sqrt 3 \) hoặc \({x_0} =  - 1 - \sqrt 3 \).

Vì đường thẳng \(y = x\) và \(\left( C \right)\) có hai giao điểm nên \(y = x\) không phải là tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Vậy tổng hoành độ của hai tiếp điểm là \(k =  - 1 + \sqrt 3  + \left( { - 1} \right) - \sqrt 3  =  - 2\), đây không phải là một số chính phương. Do đó, ý d) sai.