Câu hỏi:
10/10/2024 533
Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\), \(M\) là một điểm bất kì trên \(\left( C \right)\) và tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt hai tiệm cận tại \(A,\,B\). Biết chu vi tam giác \(IAB\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(a + \sqrt b \) với \(a,\,b \in \mathbb{N}\). Giá trị của biểu thức \(a - b + 4\) bằng bao nhiêu?
Câu hỏi trong đề:
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh Diều có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Giả sử \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)\), \(\left( {{x_0} \ne 1} \right)\) suy ra tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) có phương trình là \(y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} - 1}}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = - \infty \) nên đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2\) nên đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\).
Suy ra \(I\left( {1;\,\,2} \right)\).
Điểm \(A\left( {1;\,\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} - 1}}} \right)\) là giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến, điểm \(B\left( {2{x_0} - 1;\,2} \right)\) là giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến.
Ta có chu vi của tam giác \(IAB\) bằng:
\(IA + IB + AB = \frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} + 2\left| {{x_0} - 1} \right| + \sqrt {4{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2} + \frac{4}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có \(IA + IB + AB \ge 2\sqrt 4 + \sqrt {4 \cdot 2} = 4 + \sqrt 8 \).
Đẳng thức xảy ra khi \(\left| {{x_0} - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 2\).
Vậy chu vi tam giác \(IAB\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4 + \sqrt 8 \) khi \(M\left( {0;1} \right)\) hoặc \(M\left( {2;3} \right)\).
Suy ra \(a = 4,b = 8\) nên \(a - b + 4 = 0\).
Đáp số: \(0\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có đồ thị như hình vẽ.
Trong các số \(a,b,c,d\) có bao nhiêu số có giá trị dương?
Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có đồ thị như hình vẽ.
Trong các số \(a,b,c,d\) có bao nhiêu số có giá trị dương?
Xem đáp án »
10/10/2024
20,924
Câu 2:
Có ba lực cùng tác động vào một cái bàn như hình vẽ dưới. Trong đó hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} \) tạo với nhau một góc \(110^\circ \) và có độ lớn lần lượt là 9 N và 4 N, lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} \) và có độ lớn 7 N. Độ lớn hợp lực của ba lực trên là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của Newton)?
Có ba lực cùng tác động vào một cái bàn như hình vẽ dưới. Trong đó hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} \) tạo với nhau một góc \(110^\circ \) và có độ lớn lần lượt là 9 N và 4 N, lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} \) và có độ lớn 7 N. Độ lớn hợp lực của ba lực trên là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của Newton)?
Xem đáp án »
10/10/2024
15,696
Câu 3:
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,AC,\,AD\) đôi một vuông góc và \(AB = AC = AD = 1\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).
b) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} = 1\).
c) \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\).
d) \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {BD} } \right) = 120^\circ \).
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,AC,\,AD\) đôi một vuông góc và \(AB = AC = AD = 1\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).
b) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} = 1\).
c) \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\).
d) \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {BD} } \right) = 120^\circ \).
Xem đáp án »
10/10/2024
10,020
Câu 4:
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Giả sử hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 5\) đạt cực đại tại \(x = a\) và đạt cực tiểu tại \(x = b\). Giá trị của biểu thức \(M = 2a - 3b\) bằng bao nhiêu?
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Giả sử hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 5\) đạt cực đại tại \(x = a\) và đạt cực tiểu tại \(x = b\). Giá trị của biểu thức \(M = 2a - 3b\) bằng bao nhiêu?
Xem đáp án »
10/10/2024
8,040
Câu 5:
Cho hàm số \(y = {e^x} - x + 3\).
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 0\).
c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ là \(\left( {0;4} \right)\).
d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ.
Cho hàm số \(y = {e^x} - x + 3\).
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 0\).
c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ là \(\left( {0;4} \right)\).
d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ.
Xem đáp án »
10/10/2024
6,009
Câu 6:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'D'\) và \(C'D'\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {A'B} \). Số đo của góc \(\varphi \) bằng bao nhiêu độ?
Xem đáp án »
10/10/2024
5,167
Câu 7:
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \) bằng
Xem đáp án »
10/10/2024
3,200
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
-
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cơ bản (P1)
về câu hỏi!