Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\), \(M\) là một điểm bất kì trên \(\left( C \right)\) và tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt hai tiệm cận tại \(A,\,B\). Biết chu vi tam giác \(IAB\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(a + \sqrt b \) với \(a,\,b \in \mathbb{N}\). Giá trị của biểu thức \(a - b + 4\) bằng bao nhiêu?

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Giả sử \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)\), \(\left( {{x_0} \ne 1} \right)\) suy ra tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) có phương trình là \(y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} - 1}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} =  - \infty \) nên đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2\) nên đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\).

Suy ra \(I\left( {1;\,\,2} \right)\).

Điểm \(A\left( {1;\,\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} - 1}}} \right)\) là giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến, điểm \(B\left( {2{x_0} - 1;\,2} \right)\) là giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến.

Ta có chu vi của tam giác \(IAB\) bằng:

\(IA + IB + AB = \frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} + 2\left| {{x_0} - 1} \right| + \sqrt {4{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2} + \frac{4}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có \(IA + IB + AB \ge 2\sqrt 4  + \sqrt {4 \cdot 2}  = 4 + \sqrt 8 \).

Đẳng thức xảy ra khi \(\left| {{x_0} - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 2\).

Vậy chu vi tam giác \(IAB\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4 + \sqrt 8 \) khi \(M\left( {0;1} \right)\) hoặc \(M\left( {2;3} \right)\).

Suy ra \(a = 4,b = 8\) nên \(a - b + 4 = 0\).

Đáp số: \(0\).