Câu hỏi:
11/10/2024 36,931Cho tam giác \[ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] có đường cao \[AD\] và đường phân giác trong \[AO\] \[\left( {D,O} \right.\] thuộc cạnh \[\left. {BC} \right).\] Kẻ \[OM\] vuông góc với \[AB\] tại \[M,\,\,ON\] vuông góc với \[AC\] tại \[N.\]
1) Chứng minh bốn điểm \[D,M,N,O\] cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh \(OM = ON\) và \[\widehat {BDM} = \widehat {ODN}.\]
3) Qua \[O,\] kẻ đường thẳng vuông góc với \[BC\] cắt \[MN\] tại \[I,\,\,AI\] cắt \[BC\] tại \[K.\] Chứng minh \[K\] là trung điểm của \[BC.\]
Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 3) !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Cho tam giác \[ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] có đường cao \[AD\] và đường phân giác trong \[AO\] \[\left( {D,O} \right.\] thuộc cạnh \[\left. {BC} \right).\] Kẻ \[OM\] vuông góc với \[AB\] tại \[M,\,\,ON\] vuông góc với \[AC\] tại \[N.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid4-1728615306.png)
1) Ta có \[\widehat {AMO} = \widehat {ANO} = 90^\circ \] (giả thiết); \[\widehat {ADO} = 90^\circ \] (giả thiết).
Tam giác \[AMO\] vuông tại \[M\] nên tam giác \[AMO\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AO\] có tâm là trung điểm của cạnh huyền \[AO.\]
Tương tự, hai tam giác \[ADO\] và \[ANO\] ngoại tiếp đường tròn đường kính \[AO.\]
Suy ra bốn điểm \[D,M,N,O\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AO.\]
2) Xét \[\Delta OAM\] và \(\Delta OAN\) có:
\(\widehat {OMA} = \widehat {ONA} = 90^\circ \); cạnh \(OA\) chung;
\(\widehat {OAM} = \widehat {OAN}\) (vì \[AO\] đường phân giác trong của \(\Delta ABC\,)\)
Do đó \[\Delta OAM = \Delta OAN\] (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \[OM = ON\] (hai cạnh tương ứng).
Do tứ giác MDON nội tiếp nên \[\widehat {ODN} = \widehat {OMN}\] và \[\widehat {BDM} = \widehat {ONM}\].
Mà \[\widehat {ONM} = \widehat {OMN}\](do tam giác OMN cân tại O). Suy ra \[\widehat {ODN} = \widehat {BDM}\] (đpcm).
* Cách khác:
Chứng minh được hai tam giác OAM và OAN bằng nhau suy ra OM = ON.
Ta có \[\widehat {BDM} + \widehat {ADM} = 90^\circ \], \[\widehat {MAO} + \widehat {AOM} = 90^\circ \].
Mà \[\widehat {ADM} = \widehat {AOM}\] (cùng chắn cung \[AM),\] suy ra \[\widehat {BDM} = \widehat {MAO}\].
Lại có \[\widehat {MAO} = \widehat {OAN}\] (tính chất đường phân giác). Suy ra \[\widehat {BDM} = \widehat {OAN}\].
Hơn nữa \[\widehat {OAN} = \widehat {ODN}\] (cùng chắn cung \[ON),\] suy ra \[\widehat {BDM} = \widehat {ODN}\] (đpcm).
3) Qua \[I,\] kẻ đường thẳng song song với \[BC\] cắt \[AB,\,\,AC\] lần lượt tại \[P,\,\,Q.\]
Ta có: \[\widehat {IOP} = \widehat {IMP} = \widehat {INA}\], \[\widehat {INA} = \widehat {IOQ}\] (vì tứ giác \[OINQ\] nội tiếp).
Suy ra \[\widehat {IOP} = \widehat {IOQ}\]. Mà \[OI \bot PQ\] nên \[OI\] là trung tuyến của tam giác \[OPQ.\]
Ta có \[PQ\,{\rm{//}}\,BC\] nên \[\frac{{IP}}{{KB}} = \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{IQ}}{{KC}}\]. Mà \[IP = IQ,\] suy ra \[KB = KC.\]
Vậy \[K\] là trung điểm của \[BC.\]
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
1) Bảng A của một giải Bóng đá gồm 4 đội bóng tham gia thi đấu, hai đội bóng bất kì thi đấu với nhau đúng một trận. Mỗi trận đấu, đội thua được 0 điểm, đội thắng được 3 điểm, hai đội hòa nhau mỗi đội được 1 điểm; số điểm của mỗi trận đấu bằng tổng số điểm của hai đội bóng tham gia trận đấu đó. Biết rằng tổng số điểm của tất cả các trận đấu bằng 16 điểm. Tính số trận hòa và số trận thắng (trận đấu có đội thắng, đội thua) của Bảng A.
2) Một túi đựng 4 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số \[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4.\] Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi từ túi đó, viên bi lấy ra lần đầu không trả lại vào túi. Mô tả không gian mẫu của phép thử và tính xác suất để lấy được 2 viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ.
1) Bảng A của một giải Bóng đá gồm 4 đội bóng tham gia thi đấu, hai đội bóng bất kì thi đấu với nhau đúng một trận. Mỗi trận đấu, đội thua được 0 điểm, đội thắng được 3 điểm, hai đội hòa nhau mỗi đội được 1 điểm; số điểm của mỗi trận đấu bằng tổng số điểm của hai đội bóng tham gia trận đấu đó. Biết rằng tổng số điểm của tất cả các trận đấu bằng 16 điểm. Tính số trận hòa và số trận thắng (trận đấu có đội thắng, đội thua) của Bảng A.
2) Một túi đựng 4 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số \[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4.\] Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi từ túi đó, viên bi lấy ra lần đầu không trả lại vào túi. Mô tả không gian mẫu của phép thử và tính xác suất để lấy được 2 viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ.
Xem đáp án »
11/10/2024
3,194
Câu 2:
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O;R) (A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường kính AD, lấy I là trung điểm của đoạn thẳng MO, gọi C là hình chiếu vuông góc của I lên AO
1) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B thuộc một đường tròn;
2) Đường thẳng vuông góc với MO tại điềm I cắt đường thẳng OB tại điểm E. Chứng minh
3) Chứng minh đồng dạng với và
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O;R) (A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường kính AD, lấy I là trung điểm của đoạn thẳng MO, gọi C là hình chiếu vuông góc của I lên AO
1) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B thuộc một đường tròn;
2) Đường thẳng vuông góc với MO tại điềm I cắt đường thẳng OB tại điểm E. Chứng minh
3) Chứng minh đồng dạng với và
Xem đáp án »
13/07/2024
2,958
Câu 3:
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\] Khẳng định nào sau đây đúng?
Xem đáp án »
11/10/2024
2,133
Câu 4:
Một quả địa cầu hành chính có đường kính bằng 33cm. Tính diện tích bề mặt của quả địa cầu, lấy .
Xem đáp án »
13/07/2024
1,842
Câu 5:
1) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 3x - 4 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2}\).
2) Giải bất phương trình \( - 2x + 3 \ge 0.\)
Xem đáp án »
11/10/2024
1,765
Câu 6:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + m2 + 4
a) Với m = 2 tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)
b) Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại điểm A(x1 , y1 ) nằm bên trái trục tung và điểm B(x2, y2) nằm bên phải trục tung sao cho
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + m2 + 4
a) Với m = 2 tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)
b) Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại điểm A(x1 , y1 ) nằm bên trái trục tung và điểm B(x2, y2) nằm bên phải trục tung sao cho
Xem đáp án »
13/07/2024
1,709
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận