Trong không gian \[Oxyz\] cho hình chóp \[S.ABCD\] có \[S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\]\[A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),\]\[B\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right)\], \[C\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right)\],\[D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)\] với \[a > 0\]. Tính góc giữa đường thẳng \[SD\] và mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\]. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
A. \[28^\circ \].
B. \[38^\circ \].
C. \[26^\circ \].
D. \[31^\circ \].
Quảng cáo
Trả lời:

Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\],
\[\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( {\frac{1}{2};0; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\],
\[\overrightarrow {SC} = \left( { - \frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( { - \frac{1}{2};1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\].
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] là \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right]\].
Ta có: \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\1&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}}&0\\{ - \frac{1}{2}}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right).\]
Ta có: \[\sin \left( {SD,\left( {SAC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {SD} ,{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}}} \right)} \right|\]
\[ = \frac{{\left| {\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} + 1.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }}\]
\[ = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}.\]
Suy ra \[\widehat {\left( {SD,\left( {SAC} \right)} \right)} \approx 28^\circ .\]
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[\frac{1}{{\sqrt 3 }}.\]
B. \[\frac{1}{{\sqrt 5 }}.\]
C. \[\frac{2}{{\sqrt 5 }}.\]
D. \[\frac{1}{3}.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 1;0;1} \right),\]\[{\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;0;1} \right)\].
Suy ra \[{\overrightarrow n _{\left( {MNP} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;1;1} \right).\]
Suy ra \[\cos \left( {\left( {MNP} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {Oxy} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {MNP} \right)}}} \right)} \right| = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\]
Câu 2
A. \[0^\circ.\]
B. \[90^\circ.\]
C. \[45^\circ.\]
D. \[30^\circ.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\], \[{\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1;0; - 1} \right)\].
Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] bằng
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right|\]
\[ = \frac{{\left| {1.2 + 0.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] bằng \[30^\circ .\]
Câu 3
A. \[60^\circ.\]
B. \[90^\circ.\]
C. \[45^\circ.\]
D. \[30^\circ.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[\left( \alpha \right):3x + z = 0.\]
B. \[\left( \alpha \right):x - y - 3z = 0.\]
C. \[\left( \alpha \right):x + 3z = 0.\]
D. \[\left( \alpha \right):3x + z = 0\] hoặc \[\left( \alpha \right):8x + 5y + z = 0.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \cos \left| {\left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|.\]
B. \[\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}.\]
C. \[\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}.\]
D. \[\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)\] hoặc \[\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right).\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.