Câu hỏi:
13/10/2024 63Trong không gian \[Oxyz\] cho hình chóp \[S.ABCD\] có \[S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\]\[A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),\]\[B\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right)\], \[C\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right)\],\[D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)\] với \[a > 0\]. Tính góc giữa đường thẳng \[SD\] và mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\]. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\],
\[\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( {\frac{1}{2};0; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\],
\[\overrightarrow {SC} = \left( { - \frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( { - \frac{1}{2};1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\].
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] là \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right]\].
Ta có: \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\1&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}}&0\\{ - \frac{1}{2}}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right).\]
Ta có: \[\sin \left( {SD,\left( {SAC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {SD} ,{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}}} \right)} \right|\]
\[ = \frac{{\left| {\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} + 1.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }}\]
\[ = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}.\]
Suy ra \[\widehat {\left( {SD,\left( {SAC} \right)} \right)} \approx 28^\circ .\]
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
III. Vận dụng
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):3x + 4y + 5z + 2 = 0\] và đường thẳng \[d\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right):x - 2y + 1 = 0\] và \[\left( \beta \right):x - 2y - 3z = 0\]. Hãy tính số đo góc \[\alpha \] giữa \[d\] và \[\left( P \right)\].
Xem đáp án »
13/10/2024
807
Câu 2:
Tìm tất cả các mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa đường thẳng \[d:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 3}}\] và tạo với mặt phẳng \[\left( P \right):2x - z + 1 = 0\] góc \[45^\circ .\]
Xem đáp án »
13/10/2024
650
Câu 3:
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \[M\left( {1;0;0} \right)\], \[N\left( {0;1;0} \right)\] và \[P\left( {0;0;1} \right)\]. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\] và \[\left( {Oxy} \right)\] bằng
Xem đáp án »
13/10/2024
645
Câu 4:
Trong không gian \[Oxyz\], cho hình chóp \[S.ABC\] có ba điểm \[S\left( {0;0;3} \right)\], \[A\left( {0;0;0} \right)\], \[B\left( {1;0;0} \right)\], \[C\left( {0;2;0} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\]. Xét các mệnh đề sau:
a) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[0.\]
b) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[\frac{2}{7}.\]
c) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng \[\frac{{10\sqrt 3 }}{{21}}.\]
d) Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[90^\circ .\]
Số mệnh đề đúng là
Xem đáp án »
13/10/2024
515
Câu 5:
II. Thông hiểu
Cho hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1},{\rm{ }}{\Delta _2}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\]. Góc giữa \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] là
Xem đáp án »
13/10/2024
131
Câu 6:
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y - z - 3 = 0\] và \[\left( Q \right):x - z - 2 = 0\]. Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] bằng
Xem đáp án »
13/10/2024
106
Câu 7:
Trong không gian \[Oxyz\], hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{z - 3}}{1}\] và \[{d_2}:\frac{{x + 5}}{1} = \frac{{y + 3}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{z - 5}}{m}\] tạo với nhau góc \[60^\circ \], giá trị của tham số \[m\] bằng
Xem đáp án »
13/10/2024
101
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
-
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cơ bản (P1)
về câu hỏi!