Cho các mệnh đề dưới đây:

(I). \[F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.\]

(II). \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{6} + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\].

(III). \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C\] là nguyên hàm của hàm số

\[f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}\sqrt x }}{7} - 2{x^2}\sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x + C.\]

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

Đáp án đúng là: C

Ta có: Phương trình biểu diễn quãng đường của vật là \[s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)dt} \]

Suy ra \[s\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} - {t^2} + t.\]

a) Quãng đường vật đi được sau 2 giây là \[s\left( 2 \right) = \frac{{{2^3}}}{3} - {2^2} + 2 = \frac{2}{3}\] (m).

Do đó, ý a đúng.

b) Ta có phương trình gia tốc là \[a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 2t - 2\].

Thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là \[a\left( t \right) = 0\] hay \[t = 1.\]

Quãng đường đi được của vật khi gia tốc bị triệt tiêu là \[s\left( 1 \right) = \frac{{{1^3}}}{3} - {1^2} + 1 = \frac{1}{3}\] (m).

Do đó, ý b đúng.

c) Thời điểm vận tốc đạt 9 m/s là nghiệm dương của phương trình \[{t^2} - 2t + 1 = 9\].

Giải phương trình ta được \[t = 4\] và \[t = - 2\] (loại do \[t > 0\]).

Suy ra quãng đường vật đi được sau 4 giây là \[s\left( 4 \right) = \frac{{{4^3}}}{3} - {4^2} + 4 = \frac{{28}}{3}\] (m).

Có \[s\left( 2 \right) = \frac{2}{3}\] (m) nên Quãng đường vật đi được trong khoảng từ 2 giây đến thời điểm \[t = 4\] là \[s\left( 4 \right) - s\left( 2 \right) = \frac{{26}}{3}\].

Do đó, ý c đúng.

d) Thời điểm gia tốc bằng \[{\rm{10 }}\left( {m/{s^2}} \right)\] là \[a\left( t \right) = 2t - 2 = 10\] hay t = 6 giây.

Vậy quãng đường vật đi được sau 6 giây là \[s\left( 6 \right) = \frac{{{6^3}}}{3} - {6^2} + 6 = 42\] (m).

Vậy ý d sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\]

\[ = \int {\frac{{x\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}}{{{x^2}}}} dx\]

\[ = \int {\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 9x}}{{{x^2}}}} dx\]

\[ = \int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx\]

\[ = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C.\]

Mà \[F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\] nên \[\frac{1}{2} - 6 + 9\ln \left| 1 \right| + C = \frac{5}{2}\] hay C = 8.

Suy ra \[F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + 8.\]

Do đó, \[F\left( 2 \right) = 9\ln 2 - 2\].