Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right)\] và \[f'\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Gọi \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Chọn mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^2},\forall x \in \mathbb{R}\] \[ \Rightarrow \frac{{ - f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = - \left( {2x + 1} \right),\forall x \in \mathbb{R}\].

\[ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = - \left( {2x + 1} \right),\forall x \in \mathbb{R}\]

Vậy \[\frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \int {\left( {2x + 1} \right)dx} = - {x^2} - x + C\]

Suy ra \[f\left( x \right) = \frac{1}{{ - {x^2} - x + C}}\].

Mà \[f\left( 0 \right) = - 1 \Leftrightarrow C = - 1.\]

Vậy \[f\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\].

Ta có: \[\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 1} \right)f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left[ { - \frac{{\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}} \right]dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} = \frac{1}{2}.\]

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[I = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} } \right]\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 1} \right)dx} } \right]\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x} \right)} \right|_1^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)} \right|_2^3} \right] = \frac{{23}}{6}.\]