Một công ty chuyên sản xuất đĩa CD với chi phí mỗi đĩa là 40 (nghìn đồng). Theo nghiên cứu nếu mỗi đĩa bán với giá x (nghìn đồng) thì số lượng đĩa bán được sẽ là q(x) = 120 − x, (x ∈ N*). Hãy xác định giá bán của mỗi đĩa sao cho lợi nhuận mà công ty thu được là cao nhất?

Phương pháp giải

Lời giải

Chi phí mà công ty này bỏ ra để sản xuất đĩa là :

\(q(x).40 = (120 - x).40 = 4800 - 40x\) (nghìn đồng).

Số tiền mà công ty này thu về từ việc bán đĩa là :

\(x.q(x) = x.(120 - x) = 120x - {x^2}\)(nghìn đồng).

Lợi nhuận của công ty này thu được từ việc bán đĩa là :

\(f(x) = \left( {120x - {x^2}} \right) - (4800 - 40x) =  - {x^2} + 160x - 4800\)(nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) trên \((0;120)\).

Nhận thấy rằng đây là hàm số dạng \(a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\) nên nó đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) khi \(x =  - \frac{b}{{2a}}\). Suy ra khi \(x =  - \frac{{160}}{{2.( - 1)}} = 80\) thì hàm số \(f(x) =  - {x^2} + 160x - 4800\) đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\), mà \(0 < 80 < 120\) nên \(x = 80\) thì hàm số \(f(x) =  - {x^2} + 160x - 4800\) đạt giá trị lớn nhất trên \((0;120)\).