Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy là tam giác ABC vuông cân tại C; CA = CB = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AA'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC'.

Ta có \(v(t) = s' =  - \frac{3}{2}{t^2} + 6t\). Ta đi tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} v(t)\).

\(v'(t) =  - 3t + 6 \Rightarrow v'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

Bảng biến thiên:                                           

Từ bảng biến thiên ta có:

\( + )\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} v(t) = v(2) = 6.\)

Vậy quãng đường vật đi được đến lúc đạt vận tốc lớn nhất là: \(s =  - \frac{1}{2}{.2^3} + {3.2^2} + 20 = 28\;{\rm{m}}\).

+ ) Vật dừng lại ở thời điểm \(t\) thỏa mãn \(t > 0\) và \(v(t) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{3}{2}{t^2} + 6t = 0 \Leftrightarrow t = 4\).

Quãng đường vật di chuyển được là: \(s(4) = 36\;{\rm{m}}\).

Do đó ta có đáp án như sau

Một vật chuyển động theo quy luật \(s =  - \frac{1}{2}{t^3} + 3{t^2} + 20\) với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó.

Áp dụng định lí Pytago ta có: \({\rm{DH}} = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{D}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {{{16}^2} - {{\rm{x}}^2}} = {\rm{CK}}\).

\( \Rightarrow {\rm{DC}} = 16 + 2\sqrt {{{16}^2} - {{\rm{x}}^2}} \).

Khi đó diện tích hình thang là:

\({\rm{S}} = \frac{1}{2}\left( {16 + 16 + 2\sqrt {{{16}^2} - {{\rm{x}}^2}} } \right){\rm{x}} = 16{\rm{x}} + {\rm{x}}\sqrt {{{16}^2} - {{\rm{x}}^2}} \).

Xét hàm số \({\rm{f}}({\rm{x}}) = 16{\rm{x}} + {\rm{x}}\sqrt {{{16}^2} - {{\rm{x}}^2}} \) với \(0 < {\rm{x}} < 16\).

Ta có: \(f'(x) = 16 + \frac{{{{16}^2} - 2{x^2}}}{{\sqrt {{{16}^2} - {x^2}} }}\).

Khi đó \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 16 + \frac{{{{16}^2} - 2{x^2}}}{{\sqrt {{{16}^2} - {x^2}} }} = 0\).

\( \Leftrightarrow 16\sqrt {{{16}^2} - {x^2}} + {16^2} - 2{x^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - {16^2} = 16\sqrt {{{16}^2} - {x^2}} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - {{16}^2} \ge 0}\\{4{x^4} - 1024{x^2} + {{16}^4} = {{16}^2}\left( {{{16}^2} - {x^2}} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - {{16}^2} \ge 0}\\{4{x^4} - 768{x^2} = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 8\sqrt 2 \\x \le - 8\sqrt 2 \end{array} \right.\\{x^2} - 192 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = 8\sqrt 3 \) .

Bảng biến thiên

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là \(192\sqrt 3 \;{m^2}\). Chọn D.