Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau \(|z - 1| = \sqrt {34} ,|z + 1 + mi| = |z + m + 2i|\) (trong đó \(m\) là số thực) và sao cho \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) là lớn nhất. Khi đó giá trị \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|\) bằng

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2}\)

Gọi \(z = x + iy,(x,y \in \mathbb{R})\)

Ta có \(|z - 1| = \sqrt {34}  \Rightarrow M,N\) thuộc đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1;0)\), bán kính \(R = \sqrt {34} \)

Mà \(|z + 1 + mi| = |z + m + 2i| \Leftrightarrow |x + yi + 1 + mi| = |x + yi + m + 2i|\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y + m)}^2}}  = \sqrt {{{(x + m)}^2} + {{(y + 2)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow 2(1 - m)x + 2(m - 2)y - 3 = 0\)

Suy ra M, N thuộc đường thẳng \(d:2(1 - m)x + 2(m - 2)y - 3 = 0\)

Do đó M, N là giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường tròn \((C)\)

Ta có \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN\) nên \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất

\( \Leftrightarrow MN\) là đường kính của \((C)\). Khi đó \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2OI = 2\)