Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \(\sin 3x = \sqrt {2m - 1}  + 1\) có nghiệm?

Với giá trị nào của m thì hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 2x - 3 - m}}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

Tính các giới hạn sau \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{|2 - x|}}{{2{x^2} - 5x + 2}}\)

Cho tứ diện \({\rm{ABCD}}\). Lấy các điểm \({\rm{M}}\) và \({\rm{N}}\) lần lượt thuộc \({\rm{AD}}\) và \({\rm{BC}}\) sao cho \(\overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow {MD} \), \(\overrightarrow {NB}  =  - 3\overrightarrow {NC} \). Biết \(\overrightarrow {AB}  = \vec a,\overrightarrow {CD}  = \vec b\). Biết \(\overrightarrow {MN}  = x\vec a - y\vec b\).

Khi đó x + y = _______

Cho dãy số có giới hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \frac{1}{{2 - {u_n}}},n \ge 1}\end{array}} \right.\). Tính lim un.

Cho cấp số cộng (un) có u1 = 3 và công sai d = 2, và cấp số cộng (vn) có v1 = 2 và công sai d′ = 3. Gọi X, Y là tập hợp chứa 1000 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng. Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong tập hợp X ∪ Y. Xác suất để chọn được 2 phần tử bằng nhau gần với số nào nhất trong các số dưới đây?