Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAC vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa SC, AB .

a) Chiếc thùng nhận được là hình chóp cụt

Vì \(AB//A'B'\)\( \Rightarrow AB//\left( {A'B'C'D'} \right)\).

Vì \(AD//A'D'\) \( \Rightarrow AD//\left( {A'B'C'D'} \right)\). Do đó \(\left( {ABCD} \right)//\left( {A'B'C'D'} \right)\).

Vì bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc và hàn lại sẽ tạo thành 4 mặt bên là các hình thang cân. Vậy chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Cạnh bên của chiếc thùng là độ dài cạnh DD’

Kẻ \(DQ \bot D'C'\).

Khi đó DQ =2,5 dm và \(D'Q = 1,5\) dm.

Vì tam giác \(DQD'\) là tam giác vuông nên \(DD' = \sqrt {D{Q^2} + D'{Q^2}} = \sqrt {{{2,5}^2} + {{1,5}^2}} = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\) dm.

c) Số lít nước mà thùng có thể chứa được nhiều nhất bằng thể tích của hình chóp cụt.

Gọi O và \(O'\) lần lượt là tâm của ABCD và \(A'B'C'D'\)

Qua D kẻ \(DH \bot O'D'\)

Đáy\(A'B'C'D'\)có cạnh là 6dm

\(O'D' = \frac{6}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \,\,({\rm{dm}})\).

\(OD = \frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\,\,({\rm{dm}})\).

Xét mặt chứa đường chéo của hình vuông, nó là hình thang cân có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp cụt và được \(h = \sqrt {D'{D^2} - D'{H^2}} = \sqrt {\frac{{17}}{2} - {{\left( {3\sqrt 2 - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = 2\,\,(dm)\)

Thể tích cần tìm là \(V = \frac{1}{3}.2.\left( {{3^2} + {6^2} + 3.6} \right) = 42\) lít.

Do đó ta chọn đáp án như sau

Gọi số có 8 chữ số là \[\overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \].

Vì số lập được là số lẻ không chia hết cho 5 nên \({a_8} \in \left\{ {1;3;7} \right\}\) Þ Có 3 cách chọn a₈.

Số cách chọn a₁, a₂, ..., a₇ từ tập 7 chữ số còn lại khác a₈ là 7! = 5040 cách.

Vậy số các số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này lẻ và không chia hết cho 5 là 3.5040 = 15120 số. Chọn D.