Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\). Một mặt phẳng \((P)\) tiếp xúc mặt cầu và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C và thỏa mãn \(O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} = 27\). Diện tích tam giác ABC là

A. \(9\sqrt 3 \).

B. \(\frac{{9\sqrt 3 }}{2}\).

C. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(3\sqrt 3 \).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 7) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(O(0;0;0)\), bán kính \(R = \sqrt 3 \).

Giả sử \((P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) với \(a > 0,b > 0,c > 0\). Mặt phẳng thỏa mãn đề bài khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} + {c^2} = 27}\\{\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \sqrt 3 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} + {c^2} = 27}\\{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\,\,(I)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, ta có

\(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}.3\sqrt[3]{{\frac{1}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}}} = 9\).

Dấu “=” xảy ra khi \({a^2} = {b^2} = {c^2}\).

Do đó hệ \((I) \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = {c^2} = 9 \Leftrightarrow a = b = c = 3\).

\( \Rightarrow A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3)\). Khi đó tam giác \({\rm{ABC}}\) đều và \(AB = 3\sqrt 2 \).

Vậy \({S_{ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\). Chọn B.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:

Số dư khi chia 1532⁵ − 1 cho 9 là .....

Số dư khi chia 2016²⁰¹⁸ + 2 cho 5 là ...... .

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có \(1532 = 9.170 + 2 \equiv 2\,\,(\bmod \,\,9)\)

Do đó \({1532^5} \equiv {2^5}\,\,(\bmod \,\,9) \Rightarrow {1532^5} - 1 \equiv {2^5} - 1\,\,(\bmod \,\,9)\).

Mà \({2^5} - 1 = 31 \equiv 4\,\,(\bmod \,\,9)\).

Do đó \({1532^5} - 1 \equiv 4\,\,(\bmod \,\,9)\).

Vậy số dư cần tìm là 4 .

b) Ta có \(2016 \equiv 1\,\,(\bmod \,\,5)\) do đó \({2016^{2018}} \equiv {1^{2018}}\,\,(\bmod \,\,5) \Rightarrow \) \({2016^{2018}} + 2 \equiv {1^{2018}} + 2\,\,(\bmod \,\,5)\).

Mà \(1 + 2 = 3 \equiv 3\,\,(\bmod \,\,5)\). Do đó \({2016^{2018}} + 2 \equiv 3\,\,(\bmod \,\,5)\).

Vậy số dư cần tìm là 3 .

Do đó ta điền đáp án như sau

Số dư khi chia 1532⁵ − 1 cho 9 là .