Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 7)

Mệnh đề 1: Hàm số \(y = \frac{{\tan x + 3}}{{2\sin x - 3}}\) xác định khi \(\cos x \ne 0\).

Mệnh đề 2: \(2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\) ứng với 2 điểm trên đường tròn.

Do đó ta chọn đáp án như sau

Hàm số \(y = \sin x + 5\) tuần hoàn với chu kì 2π.

\(y = \cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\) không xác định khi x = kπ.

Do đó ta điền đáp án như sau

Hàm số \(y = \sin x + 5\) tuần hoàn với chu kì 

Hàm số \(y = \cot x\) không xác định với mọi x có dạng  . (\(k \in \mathbb{Z}\)).

1) Ta có: Số học sinh nữ đỗ đại học khóa 2018 là 15 + 20 + 5 + 10 = 50 (người).

Số học sinh nữ đỗ Đại học Khoa học Tự nhiên là 15 (người).

Tỉ lệ phần trăm đỗ Đại học Khoa học Tự nhiên là \[\frac{{15}}{{50}}.100{\rm{\% }} = 30{\rm{\% }}\] .

2) Tổng số học sinh đỗ Đại học Bách khoa cả 2 năm là 20 + 43 + 15 + 32 = 110 (người).

Tổng số học sinh đỗ Đại học Ngoại thương là 10 + 34 + 5 + 12 = 61 (người).

Số học sinh đỗ Đại học Bách khoa nhiều hơn số học sinh đỗ Đại học Ngoại thương khoảng:

\[\frac{{110 - 61}}{{61}}.100{\rm{\% }} \approx 80,3{\rm{\% }}\] .

Do đó ta điền đáp án như sau

Trong số học sinh nữ đỗ đại học khóa tốt nghiệp 2018, tỉ lệ phần trăm đỗ Đại học Khoa học Tự nhiên là  .

Tính cả hai khóa tốt nghiệp 2018 và 2019, số học sinh đỗ Đại học Bách khoa nhiều hơn số học sinh đỗ Đại học Ngoại thương khoảng  . 

a) Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai là −2

số hạng tổng quát là: u_n = 45 − 2(n − 1) = 47 − 2n.

khi u_n = 31 ⇒ n = 8.

Vậy cái thang có 8 bậc.

b) \({S_8} = \frac{{8.(45 + 31)}}{2} = 304\)

Vậy chiều dài thanh gỗ là 304 cm.

Do đó ta chọn đáp án như sau

1) Xếp A và F ở hai đầu ghế: có 2! cách xếp A và F

Các vị trí ở giữa: có 4! cách xếp

Vậy có 2!.4! = 48 cách xếp sao cho A và F ở hai đầu ghế.

2) Xếp A và F ngồi cạnh nhau ta ghép A và F thành 1 "bó": có 2 ! cách sắp xếp vị trí bên trong "bó"

Rồi mang sắp xếp 4 người còn lại và 1 "bó" trên ghế dài: ta được 5 ! cách xếp.

Vậy có 2!. 5! = 240 cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau.

3) Số cách xếp 6 người bất kì là 6! cách

Số cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau là 240 cách.

Vậy có 6! − 240 = 480 cách xếp sao cho A và F không ngồi cạnh nhau.

Do đó ta điền đáp án như sau

1) Có    cách xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế.

2) Có  cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau.

3) Có    cách xếp sao cho A và F không ngồi cạnh nhau.

+ Xếp 12 viên bi vào 3 hộp khác nhau:

Xếp 4 viên bi vào hộp số 1: $C_{12}^4 = 495$.

Xếp 4 viên bi vào hộp số 2: $C_8^4 = 70$.

Số cách xếp 12 viên bi vào 3 hộp khác nhau: 495.70 = 34650.

+ Số cách xếp 12 viên vào 3 hộp giống nhau là $\frac{34650}{3!} = 5775$

Do đó ta điền đáp án như sau

Số cách xếp 12 viên vào 3 hộp khác nhau là                . 

Số cách xếp 12 viên vào 3 hộp giống nhau là                    . 

Ta có: \(SA \bot (ABC) \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \({\rm{SC}}\) xuống mặt phẳng \((ABC)\).

Tam giác \({\rm{ABC}}\) vuông tại \(B\) nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\).

Khi đó, góc giữa \({\rm{SC}}\) và mặt phẳng \({\rm{ABC}}\) là góc \(\widehat {SCA}\).

Xét tam giác vuông SCA có: \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{2a}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ \).

 a) Ta thấy 52 = 32 + 42

Nên (3; 4; 5) là bộ ba số Pytago

Mà 3; 4; 5 có ước chung lớn nhất là 1 nên 3; 4; 5 là các số nguyên tố cùng nhau.

b)

TH1: Cả 2 số là các cạnh góc vuông

1532 + 1852 = 57634

Mà 57634 không là số chính phương nên loại

TH2: Có 1 số lớn nhất là cạnh huyền

1852 − 1532 = 1042 (thỏa mãn).

Hai số 153 và 185 có cùng thuộc 1 bộ ba số Pytago

c) Mệnh đề 3 sai vì với k = 0 thì (ka; kb; kc) không là bộ ba số Pytago.

Do đó ta chọn đáp án như sau