Khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. \(AB = a\sqrt 3 ,AD = a,SA\) vuông góc với đáy và mặt phẳng \((SBC)\) tạo với đáy một góc \(60^\circ \). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\)là:

A. \(\frac{{13\sqrt {13} }}{6}\pi {a^3}\).

B. \(\frac{{13\sqrt {13} }}{{24}}\pi {a^3}\).

C. \(\frac{{5\sqrt 5 }}{6}\pi {a^3}\).

D. \(\frac{{5\sqrt {10} }}{3}\pi {a^3}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 7) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

\({\rm{Ta c\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB.} \right.\)

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBC) \cap (ABCD) = BC}\\{SB \subset (SBC),SB \bot BC}\\{AB \subset (ABCD),AB \bot BC}\end{array} \Rightarrow ((SBC),(ABCD)) = (SB,AB) = \widehat {SBA} = 60^\circ .} \right.\]

Gọi \({\rm{O}}\) là tâm hình chữ nhật \({\rm{ABCD}}\), I là trung điểm của \({\rm{SC}}\).

Ta có \({\rm{OI}}\) là đường trung bình của tam giác \({\rm{SAC}}\) nên \({\rm{OI}}//{\rm{SA}}\).

Mà \(SA \bot (ABCD)\) nên \(OI \bot (ABCD)\).

\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID{\rm{. }}\)

Lại có tam giác \({\rm{SAC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\) nên IS = IA = IC.

\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.

Xét tam giác vuông SAB có: \(SA = AB.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(AC = \sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} + {a^2}} = 2a\).

\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {9{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt {13} .\)

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là \(R = IS = \frac{1}{2}SC = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{13\sqrt {13} }}{6}\pi {a^3}\). Chọn A.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:

Số dư khi chia 1532⁵ − 1 cho 9 là .....

Số dư khi chia 2016²⁰¹⁸ + 2 cho 5 là ...... .

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có \(1532 = 9.170 + 2 \equiv 2\,\,(\bmod \,\,9)\)

Do đó \({1532^5} \equiv {2^5}\,\,(\bmod \,\,9) \Rightarrow {1532^5} - 1 \equiv {2^5} - 1\,\,(\bmod \,\,9)\).

Mà \({2^5} - 1 = 31 \equiv 4\,\,(\bmod \,\,9)\).

Do đó \({1532^5} - 1 \equiv 4\,\,(\bmod \,\,9)\).

Vậy số dư cần tìm là 4 .

b) Ta có \(2016 \equiv 1\,\,(\bmod \,\,5)\) do đó \({2016^{2018}} \equiv {1^{2018}}\,\,(\bmod \,\,5) \Rightarrow \) \({2016^{2018}} + 2 \equiv {1^{2018}} + 2\,\,(\bmod \,\,5)\).

Mà \(1 + 2 = 3 \equiv 3\,\,(\bmod \,\,5)\). Do đó \({2016^{2018}} + 2 \equiv 3\,\,(\bmod \,\,5)\).

Vậy số dư cần tìm là 3 .

Do đó ta điền đáp án như sau

Số dư khi chia 1532⁵ − 1 cho 9 là .