Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;3; - 2} \right)\), \(B\left( {0;4;7} \right)\), \(C\left( {5; - 1;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(x + y + z - 2 = 0\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) bằng

Gọi \(I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}1 - {x_I} - 2\left( {0 - {x_I}} \right) + 3\left( {5 - {x_I}} \right) = 0\\3 - {y_I} - 2\left( {4 - {y_I}} \right) + 3\left( { - 1 - {y_I}} \right) = 0\\ - 2 - {z_I} - 2\left( {7 - {z_I}} \right) + 3\left( {2 - {z_I}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = 8\\{y_I} = - 4\\{z_I} = - 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {8; - 4; - 5} \right)\).

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)} \right|\)

          \( = \left| {2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI\).

Biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất.

Vậy M(a; b; c) là hình chiếu của I trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Mặt khác, mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1;1;1} \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\), suy ra \(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8 + t\\y = - 4 + t\\z = - 5 + t\end{array} \right.\)

Khi đó \(M = \Delta \cap \left( P \right)\), tọa độ của M là nghiệm của hệ sau

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 8 + t\\y = - 4 + t\\z = - 5 + t\\x + y + z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = - 3\\z = - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {9; - 3; - 4} \right)\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = - 3\\c = - 4\end{array} \right. \Rightarrow T = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 106\). Chọn B.