Điền số tự nhiên vào chỗ trống

Cho đa giác lồi có 10 cạnh. Biết rằng không có ba đường chéo nào đồng quy, số giao điểm của các đường chéo là (1) ____.

Số phần tử của tập S là \({9.10^5}\).

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S”.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {9.10^5}\).

Gọi B là biến cố “Số được chọn có tích các chữ số bằng 1400”

Ta có 1400 = 2³.5².7 = 2.2.2.5.5.7 = 1.2.4.5.5.7 = 1.1.8.5.5.7 nên số có 6 chữ có tích bằng 1400 có thể được lập bởi các trường hợp sau:

TH1. Số được lập từ bộ thứ nhất 2, 2, 2, 5, 5, 7 ; có tất cả \(\frac{{6!}}{{3!.2!}} = 60\).

TH2. Số được lập từ bộ thứ hai 1, 2, 4, 5, 5, 7; có tất cả \(\frac{{6!}}{{2!}} = 360\).

TH3. Số được lập từ bộ thứ hai 1, 1, 8, 5, 5, 7; có tất cả \(\frac{{6!}}{{2!.2!}} = 180\).

Do đó có tất cả 60 + 360 + 180 = 600 số có 6 chữ số và tích các chữ số bằng 1400.

Suy ra \(n\left( B \right) = C_{600}^1 = 600\).

Vậy xác suất cần tìm là \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{600}}{{{{9.10}^5}}} = \frac{1}{{1500}}\). Chọn B.

+) Gọi P là trung điểm đọan AN.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CN//PM\\PM \subset \left( {DMP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CN//\left( {DMP} \right)\).

Suy ra \(d\left( {CN,DM} \right) = d\left( {CN,\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {DMP} \right)} \right)\)\( = d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right)\).

+) Khi đó \(\frac{{{V_{A.DMP}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \frac{{AP}}{{AB}}.\frac{{AM}}{{AC}}.\frac{{AD}}{{AD}} = \frac{1}{8}\), mà tứ diện ABCD đều nên \({V_{A.BCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

\( \Rightarrow {V_{A.DMP}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}} \Rightarrow \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right).{S_{\Delta DMP}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}\).

+) Lại có \(\Delta ADC\) đều nên \(DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(\Delta ABC\) đều nên \(CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MP = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Xét tam giác DPA có \(D{P^2} = A{D^2} + A{P^2} - 2AD.AP.\cos \widehat {PAD} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{4}} \right)^2} - 2.a.\frac{a}{4}.\cos 60^\circ = \frac{{13{a^2}}}{{16}}\)

\( \Rightarrow DP = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).

Nửa chu vi tam giác DMP là: \(p = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{4} + \frac{{a\sqrt {13} }}{4}}}{2} = \frac{{a\left( {\sqrt {13} + 3\sqrt 3 } \right)}}{8}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta DMP}} = \sqrt {p\left( {p - DM} \right)\left( {p - MP} \right)\left( {p - DP} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}\).

Vậy \(d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right) = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}}}{{\frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}}} = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}} \Rightarrow d\left( {CN,DM} \right) = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}}\). Chọn D.