Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 1400.    

+) Gọi P là trung điểm đọan AN.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CN//PM\\PM \subset \left( {DMP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CN//\left( {DMP} \right)\).

Suy ra \(d\left( {CN,DM} \right) = d\left( {CN,\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {DMP} \right)} \right)\)\( = d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right)\).

+) Khi đó \(\frac{{{V_{A.DMP}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \frac{{AP}}{{AB}}.\frac{{AM}}{{AC}}.\frac{{AD}}{{AD}} = \frac{1}{8}\), mà tứ diện ABCD đều nên \({V_{A.BCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

\( \Rightarrow {V_{A.DMP}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}} \Rightarrow \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right).{S_{\Delta DMP}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}\).

+) Lại có \(\Delta ADC\) đều nên \(DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(\Delta ABC\) đều nên \(CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MP = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Xét tam giác DPA có \(D{P^2} = A{D^2} + A{P^2} - 2AD.AP.\cos \widehat {PAD} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{4}} \right)^2} - 2.a.\frac{a}{4}.\cos 60^\circ = \frac{{13{a^2}}}{{16}}\)

\( \Rightarrow DP = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).

Nửa chu vi tam giác DMP là: \(p = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{4} + \frac{{a\sqrt {13} }}{4}}}{2} = \frac{{a\left( {\sqrt {13} + 3\sqrt 3 } \right)}}{8}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta DMP}} = \sqrt {p\left( {p - DM} \right)\left( {p - MP} \right)\left( {p - DP} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}\).

Vậy \(d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right) = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}}}{{\frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}}} = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}} \Rightarrow d\left( {CN,DM} \right) = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}}\). Chọn D.

Bước 1. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 .

Số phần tử không gian mẫu \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 36\).

Để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 thì số chấm trên hai con xúc xắc là một trong các trường hợp sau \(\left( {2;6} \right),\left( {3;5} \right),\left( {4;4} \right),\left( {5;3} \right),\left( {6;2} \right)\).

Vậy xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 là \(\frac{5}{{36}}\).

Bước 2. Tính xác suất thắng của mỗi bạn.

\(A\) là biến cố bạn \({\rm{A}}\) là người chiến thắng.

\(P\left( A \right) = \left( {\frac{5}{{36}}} \right) + \left( {\frac{{31}}{{36}}.\frac{{31}}{{36}}.\frac{5}{{36}}} \right) + \left( {\frac{{31}}{{36}}.\frac{{31}}{{36}}.\frac{{31}}{{36}}.\frac{{31}}{{36}}.\frac{5}{{36}}} \right) + \ldots \)

\( = \frac{5}{{36}}\left[ {1 + {{\left( {\frac{{31}}{{36}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{31}}{{36}}} \right)}^4} + \ldots } \right]\)

\( = \frac{5}{{36}}.\frac{1}{{1 - {{\left( {\frac{{31}}{{36}}} \right)}^2}}} = \frac{{36}}{{67}}\).

Do đó ta điền như sau

Hai bạn \(A\) và \(B\) chơi một trò chơi: hai bạn sẽ tung hai con xúc xắc luân phiên, để giành chiến thắng thì tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc phải bằng 8 . Biết bạn \({\rm{A}}\) là người chơi trước, xác suất giành chiến thắng của bạn \({\rm{A}}\) bằng (1) \(\frac{{36}}{{67}}\).