Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({2^{f\left( x \right) + \frac{4}{{f\left( x \right)}}}} + {\log _2}\left[ {{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 5} \right] = m\) có đúng hai nghiệm phân biệt bằng

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(1 \le f\left( x \right) \le 4,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\).

Xét \(g\left( x \right) = {2^{f\left( x \right) + \frac{4}{{f\left( x \right)}}}} + {\log _2}\left[ {{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 5} \right]\).

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = {\left( {f\left( x \right) + \frac{4}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime }{2^{f\left( x \right) + \frac{4}{{f\left( x \right)}}}}.\ln 2 + \frac{{{{\left( {{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 5} \right)}^\prime }}}{{\left( {{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 5} \right).\ln 2}}\)

\( = f'\left( x \right)\left( {1 - \frac{4}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right){2^{f\left( x \right) + \frac{4}{{f\left( x \right)}}}}.\ln 2 + \frac{{f'\left( x \right).\left( {2f\left( x \right) - 4} \right)}}{{\left( {{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 5} \right).\ln 2}}\)

\( = f'\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 2} \right)\left[ {\left( {\frac{{f\left( x \right) + 2}}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right){2^{f\left( x \right) + \frac{4}{{f\left( x \right)}}}}.\ln 2 + \frac{2}{{\left( {{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 5} \right).\ln 2}}} \right]\).

Khi đó \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,x = 2,x = 3\\x = \alpha \in \left( {1;2} \right);x = \beta \in \left( {2;3} \right)\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có yêu cầu đề bài \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}33 < m < 34,3\\m = 16\end{array} \right.\) mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {16;34} \right\}\). Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m là 50. Chọn D.