Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bằng a. Trên các tia \(AA'\); \(BB'\); \(CC'\) lần lượt lấy \({A_1};{B_1};{C_1}\) cách mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) lần lượt là \(\frac{a}{2};a;\frac{{3a}}{2}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)\).

Số phần tử của tập S là \({9.10^5}\).

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S”.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {9.10^5}\).

Gọi B là biến cố “Số được chọn có tích các chữ số bằng 1400”

Ta có 1400 = 2³.5².7 = 2.2.2.5.5.7 = 1.2.4.5.5.7 = 1.1.8.5.5.7 nên số có 6 chữ có tích bằng 1400 có thể được lập bởi các trường hợp sau:

TH1. Số được lập từ bộ thứ nhất 2, 2, 2, 5, 5, 7 ; có tất cả \(\frac{{6!}}{{3!.2!}} = 60\).

TH2. Số được lập từ bộ thứ hai 1, 2, 4, 5, 5, 7; có tất cả \(\frac{{6!}}{{2!}} = 360\).

TH3. Số được lập từ bộ thứ hai 1, 1, 8, 5, 5, 7; có tất cả \(\frac{{6!}}{{2!.2!}} = 180\).

Do đó có tất cả 60 + 360 + 180 = 600 số có 6 chữ số và tích các chữ số bằng 1400.

Suy ra \(n\left( B \right) = C_{600}^1 = 600\).

Vậy xác suất cần tìm là \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{600}}{{{{9.10}^5}}} = \frac{1}{{1500}}\). Chọn B.

+) Gọi P là trung điểm đọan AN.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CN//PM\\PM \subset \left( {DMP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CN//\left( {DMP} \right)\).

Suy ra \(d\left( {CN,DM} \right) = d\left( {CN,\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {DMP} \right)} \right)\)\( = d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right)\).

+) Khi đó \(\frac{{{V_{A.DMP}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \frac{{AP}}{{AB}}.\frac{{AM}}{{AC}}.\frac{{AD}}{{AD}} = \frac{1}{8}\), mà tứ diện ABCD đều nên \({V_{A.BCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

\( \Rightarrow {V_{A.DMP}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}} \Rightarrow \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right).{S_{\Delta DMP}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}\).

+) Lại có \(\Delta ADC\) đều nên \(DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(\Delta ABC\) đều nên \(CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MP = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Xét tam giác DPA có \(D{P^2} = A{D^2} + A{P^2} - 2AD.AP.\cos \widehat {PAD} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{4}} \right)^2} - 2.a.\frac{a}{4}.\cos 60^\circ = \frac{{13{a^2}}}{{16}}\)

\( \Rightarrow DP = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).

Nửa chu vi tam giác DMP là: \(p = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{4} + \frac{{a\sqrt {13} }}{4}}}{2} = \frac{{a\left( {\sqrt {13} + 3\sqrt 3 } \right)}}{8}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta DMP}} = \sqrt {p\left( {p - DM} \right)\left( {p - MP} \right)\left( {p - DP} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}\).

Vậy \(d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right) = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}}}{{\frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}}} = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}} \Rightarrow d\left( {CN,DM} \right) = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}}\). Chọn D.