Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bằng a. Trên các tia \(AA'\); \(BB'\); \(CC'\) lần lượt lấy \({A_1};{B_1};{C_1}\) cách mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) lần lượt là \(\frac{a}{2};a;\frac{{3a}}{2}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)\).
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bằng a. Trên các tia \(AA'\); \(BB'\); \(CC'\) lần lượt lấy \({A_1};{B_1};{C_1}\) cách mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) lần lượt là \(\frac{a}{2};a;\frac{{3a}}{2}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vì \(\Delta ABC\) đều có cạnh bằng a nên \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Dựng hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A_1}HK\).
Xét \(\Delta A'{A_1}{B_1}\) vuông tại \(A'\), có \({A_1}{B_1} = \sqrt {A'B_1^2 + A'A_1^2} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Xét \(\Delta {B_1}C'{C_1}\) vuông tại \(C'\), có \({B_1}{C_1} = \sqrt {{B_1}{{C'}^2} + C'C_1^2} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Xét \(\Delta {A_1}K{C_1}\) vuông tại K, có \({A_1}{C_1} = \sqrt {{A_1}{K^2} + KC_1^2} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).
Do đó \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\)là tam giác cân tại \({B_1}\). Kẻ \({B_1}I \bot {A_1}{C_1}\) tại \(I\).
Suy ra \(I\) là trung điểm của \({A_1}{C_1}\). Do đó \({A_1}I = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Khi đó \({B_1}I = \sqrt {{A_1}B_1^2 - {A_1}{I^2}} = \sqrt {\frac{{5{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Do đó \({S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2}.{B_1}I.{A_1}{C_1} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\).
Mặt khác \(\Delta ABC\)là hình chiếu của \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Do đó \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)} \right) = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)} \right) = 45^\circ \). Chọn C.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Nhân vật trung tâm trong đoạn trích trên là dì Mây/ Mây.
Từ cần điền là: dì Mây/ Mây.
Câu 2
Lời giải
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập