Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai Parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của bên đó (xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 12,72 cm³/phút. Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi \(8\pi \) cm (xem hình vẽ). Biết sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần

a) Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp thì số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_8^2\).

Gọi biến cố \(A\): "Lấy được 2 quả cầu ghi số có tổng bằng 5".

Hai quả cầu ghi số có tổng bằng 5 thì số trên 2 quả là 1 và 4 hoặc 2 và \(3 \Rightarrow n\left( A \right) = 2 + 2 = 4\).

Vậy xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{4}{{C_8^2}} = \frac{1}{7}\).

b) Nhận thấy trong 8 quả cầu đã cho, có 2 quả ghi số chia hết cho 3 là 3 và \(6;6\) quả còn lại ghi số không chia hết cho 3.

Giả sử rút ra \(x\) quả \((1 \le x \le 8,x \in \mathbb{N}\) ). Lấy ngẫu nhiên \(x\) quả từ 8 quả trong hộp thì số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_8^x\).

Gọi biến cố \(A\) : "Trong \(x\) quả lấy ra có ít nhất 1 quả ghi số chia hết cho 3 ".

Biến cố đối của \(A\) là \(\overline A \) : "Trong \(x\) quả lấy ra không có quả nào ghi số chia hết cho 3" \( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_6^x\).

\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{C_6^x}}{{C_8^x}} = \frac{{6!}}{{x!\left( {6 - x} \right)!}}:\frac{{8!}}{{x!\left( {8 - x} \right)!}} = \frac{{\left( {8 - x} \right)\left( {7 - x} \right)}}{{56}}\).

Theo đề bài

\(P\left( A \right) > \frac{3}{4} \Rightarrow 1 - P\left( {\overline A } \right) > \frac{3}{4} \Leftrightarrow 1 - \frac{{\left( {8 - x} \right)\left( {7 - x} \right)}}{{56}} > \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{\left( {8 - x} \right)\left( {7 - x} \right)}}{{56}} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow {x^2} - 15x + 42 < 0\)

\( \Leftrightarrow 3,7 \approx \frac{{15 - \sqrt {57} }}{2} < x < \frac{{15 + \sqrt {57} }}{2} \approx 11,3\) mà \(1 \le x \le 8,x \in \mathbb{N}\)

\( \Rightarrow \) Giá trị nhỏ nhất của \(x\) là 4 .

Vậy cần phải lấy ít nhất 4 quả cầu.

Do đó ta điền đáp án như sau

a) Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp thì xác suất để lấy được 2 quả cầu ghi số có tổng bằng 5 là \(\frac{1}{7}\).

b) Lấy ngẫu nhiên từ hộp một số quả cầu. Cần phải lấy ít nhất 4  quả cầu để xác suất lấy được ít nhất 1 quả ghi số chia hết cho 3 lớn hơn \(\frac{3}{4}\).

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_5^3 = 10\).

Để độ dài ba đoạn thẳng là độ dài ba cạnh của tam giác thì tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Do đó, các khả năng xảy ra là bộ các độ dài \(\left\{ {\left( {2;3;4} \right),\left( {2;4;5} \right),\left( {3;4;5} \right)} \right\}\).

Vậy xác suất cần tìm là: \(P = \frac{3}{{10}}\).

Do đó ta điền như sau

Cho 5 đoạn thẳng có độ dài là \(1;2;3;4;5\). Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng. Xác suất để độ dài ba đoạn thẳng này là độ dài ba cạnh của một tam giác là (1) \(\frac{3}{{10}}\).