Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'{\kern 1pt} \) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(C,\,\,AB = AA' = a.\) Góc giữa đường thẳng \(BC'\) và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) bằng \(60^\circ \). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của đoạn \(BB',\)\(CC'\) và \(BC.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(NP.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(I\) là trung điểm \(A'B' \Rightarrow C'I \bot A'B' \Rightarrow C'I \bot \left( {ABB'A'} \right).\)
Vì \(C'I \bot \left( {ABB'A'} \right)\) nên \(BI\) là hình chiếu của \(BC'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\).
Do đó \(\left( {BC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \left( {BC',BI} \right) = \widehat {C'BI} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta BIB'\) vuông tại \(B'\), có \(BI = \sqrt {B{{B'}^2} + B'{I^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Xét \(\Delta C'BI\) vuông tại \(I\), có \(BC' = \frac{{BI}}{{\cos \widehat {C'BI}}} = a\sqrt 5 \).
Xét \(\Delta BCC'\) vuông tại \(C\), có \(BC = \sqrt {B{{C'}^2} - C{{C'}^2}} = 2a.\)
Gọi \(E\) là điểm sao cho \(B\) là trung điểm \(EP.\)
\( \Rightarrow MNPE\) là hình bình hành \( \Rightarrow EM//NP\)\( \Rightarrow d\left( {AM,NP} \right) = d\left( {P,\left( {AME} \right)} \right) = 2d\left( {B,\left( {AME} \right)} \right).\)
Kẻ \(BK \bot AE\left( {K \in AE} \right),BH \bot MK\left( {H \in KM} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {AME} \right)} \right) = BH.\)
Tam giác \(APE\) có \(AB = BP = BE = a \Rightarrow \Delta APE\) vuông ở \(A \Rightarrow BK//AP.\)
Mà \(B\) là trung điểm \(EP \Rightarrow KB = \frac{1}{2}AP.\)
Xét \(\Delta ABC\) có \(AP\) là trung tuyến nên \(A{P^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4} \Rightarrow AP = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow BK = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\)
Xét \(\Delta BKM\) vuông tại \(B\) có \(BH = \frac{{BK.BM}}{{\sqrt {B{K^2} + B{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{{10}} \Rightarrow d\left( {AM,NP} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\) Chọn C.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Câu 2
A. Vi sinh vật tự dưỡng và vi sinh vật dị dưỡng.
B. Vi khuẩn Gr- và vi khuẩn G+.
Lời giải
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập