Người ta tô các số từ 1 đến 1000 màu đỏ hoặc xanh

a) Có thể tô các số có khoảng cách giữa 2 số là 5 và 9 các màu khác nhau?

b) Có thể tô các số có khoảng cách giữa 2 số là 8 và 11 các màu khác nhau?

a) Giả sử các số có khoảng cách giữa 2 số là 5 và 9 được tô màu khác nhau.

Khi đó: Số a và a + 5 tô màu khác nhau. Số a và a + 9 tô màu khác nhau.

Do đó số a + 5 và a + 9 tô màu cùng nhau.

Hay hai số có khoảng cách bằng 4 tô màu cùng nhau.

Do đó số a và a + 4 tô màu cùng nhau.

Suy ra số a + 4 và a + 5 tô màu khác nhau.  Hay hai số có khoảng cách bằng 1 tô màu khác nhau.

Do đó, số a và a + 1 tô màu khác nhau.

Vậy nếu cứ tô xen kẽ màu các số liên tiếp nhau thì các số có khoảng cách giữa 2 số là 5 và 9 được tô màu khác nhau.

b) Giả sử các số có khoảng cách giữa 2 số là 8 và 11 được tô màu khác nhau.

Khi đó:

Số a và a + 8 tô màu khác nhau.

Số a và a + 11 tô màu khác nhau.

Do đó a + 8 và a + 11 tô màu giống nhau.

Hay hai số có khoảng cách bằng 3 tô màu giống nhau.

Do đó, a và a + 3 tô màu giống nhau.

Suy ra a + 3 và a + 8 tô màu khác nhau.

Hay hai số có khoảng cách bằng 5 tô màu khác nhau.

Suy ra a và a + 5 tô màu khác nhau.

Suy ra a + 3 và a + 5 tô màu khác nhau.

Hay hai số có khoảng cách bằng 2 tô màu khác nhau.

Suy ra a và a + 2 tô màu khác nhau.

Suy ra a + 2 và a + 3 tô màu khác nhau.

Hay hai số có khoảng cách bằng 1 tô màu khác nhau.

Suy ra a và a + 1 tô màu khác nhau.

Suy ra a + 1 và a + 2 tô màu giống nhau (vì cả a + 1 và a + 2 đều tô màu khác a).

Hay hai số có khoảng cách bằng 1 tô màu giống nhau. Mâu thuẫn.

Vậy các số có khoảng cách giữa 2 số là 8 và 11 không thể được tô màu khác nhau.