Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right).\] Đường thẳng \[d\] đi qua tâm \[O,\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại hai điểm \[A,C.\] Đường thẳng \[d'\] (khác \[d\]) đi qua tâm \[O,\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại hai điểm \[B,D.\] Khi đó tứ giác \[ABCD\] là hình gì?

Đáp án đúng là: D

Gọi \[M\] là trung điểm \[OA.\]

⦁ Vì đường thẳng \[d\] vuông góc với \[OA\] tại trung điểm \[M\] của \[OA\] nên đường thẳng \[d\] là đường trung trực của đoạn \[OA.\]

Do đó đường thẳng \[d\] là trục đối xứng của đoạn \[OA.\] Vì vậy phương án A đúng.

⦁ Xét \[\Delta OBM\] và \[\Delta ABM,\] có:

\[\widehat {BMO} = \widehat {BMA} = 90^\circ ;\] \[BM\] là cạnh chung; \[OM = AM\] (do \[M\] là trung điểm \[OA\])

Do đó \[\Delta OBM = \Delta ABM\] (c.g.c)

Suy ra \[OB = AB\] (cặp cạnh tương ứng)

Mà tam giác \[OAB\] cân tại \(O\) (do \[OA = OB)\] nên tam giác \[OAB\] đều. Vì vậy phương án B đúng.

⦁ Ta có \[OA = OB = 3{\rm{\;(cm)}}\]. Vì \[M\] là trung điểm \[OA\] nên \[OM = \frac{{OA}}{2} = \frac{3}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[OBM\] vuông tại \[M,\] ta được: \[O{B^2} = B{M^2} + O{M^2}\]

Suy ra \[B{M^2} = O{B^2} - O{M^2} = {3^2} - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}\]. Do đó \[BM = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vì đường thẳng \[OA\] là trục đối xứng của \[\left( O \right)\] nên điểm đối xứng với điểm \[B\] qua đường thẳng \[OA\] phải vừa thuộc \[\left( O \right)\], vừa thuộc đường vuông góc hạ từ \[B\] xuống \[OA.\]

Tức là \[M\] là trung điểm của \(BC\) nên \[BC = 2BM = 2 \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\] Vì vậy phương án C đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Vì \[B'\] là điểm đối xứng với \[B\] qua \[O\] và \(B \in \left( O \right)\) nên \[B' \in \left( O \right).\]

Suy ra \[OB = OB' = R\] và \(BB' = 2R.\)

Mà \[C \in \left( O \right)\] nên \[R = OC = OB = OB' = \frac{{BB'}}{2}.\]

Tam giác \[BB'C\] có \[OC\] là đường trung tuyến ứng với cạnh \(BB'\) và \[OC = \frac{{BB'}}{2}\] nên tam giác \[BB'C\] vuông tại \[C.\]

Tứ giác \[AHCM,\] có: \[\widehat {AMC} = \widehat {AHC} = \widehat {HCM} = 90^\circ \] nên tứ giác \[AHCM\] là hình chữ nhật.

Tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] có \[AM\] là đường cao nên \[AM\] cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó \[M\] là trung điểm \[BC.\] Vì vậy \[MC = \frac{{BC}}{2} = \frac{6}{2} = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vậy chu vi hình chữ nhật \[AHCM\] bằng \[2 \cdot \left( {AM + MC} \right) = 2 \cdot \left( {4 + 3} \right) = 14{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Do đó ta chọn phương án D.