Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A,\] vẽ hai đường cao \[BE\] và \[CF\] cắt nhau tại \[H.\] Gọi \[I,K\] lần lượt là hai điểm trên \[BH,CH\] sao cho \[HI = HE,HK = HF.\] Gọi \[M\] là trung điểm của \[AH.\] Khi đó \[\Delta ABC\] cần điều kiện gì để điểm \[M\] thuộc đường tròn đi qua bốn điểm \[E,F,I,K?\]

Đáp án đúng là: C

Xét \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có hai đường cao \[BE\] và \[CF\] cắt nhau tại \[H\] nên \[H\] là trực tâm của \[\Delta ABC.\]

Khi đó \[AH\] là đường cao thứ ba của \[\Delta ABC.\]

Mà \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] nên đường cao \[AH\] cũng là đường phân giác của \[\Delta ABC.\]

Xét \[\Delta AFH\] và \[\Delta AEH,\] có:

\[\widehat {AFH} = \widehat {AEH} = 90^\circ ;\]

\[AH\] là cạnh chung;

\[\widehat {FAH} = \widehat {EAH}\] (do \[AH\] là đường phân giác của \[\widehat {FAE}\]).

Do đó \[\Delta AFH = \Delta AEH\] (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \[HF = HE\] (cặp cạnh tương ứng).

Mà \[HI = HE,\,\,HK = HF\] nên \[HE = HI = HF = HK.\]

Vậy bốn điểm \[E,F,I,K\] cùng nằm trên đường tròn tâm \[H\] bán kính \[HE.\]

Tam giác \[AEH\] vuông tại \[E\] có \[EM\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AH\) nên \(EM = MA = MH = \frac{1}{2}AH\).

Do đó tam giác \[HME\] cân tại \[M.\]

Để điểm \[M\] thuộc đường tròn đi qua bốn điểm \[E,F,I,K\] thì \[HM = HE.\]

Mà tam giác \[HME\] cân tại \[M\] nên lúc này, tam giác \[HME\] là tam giác đều.

Suy ra \[\widehat {MHE} = 60^\circ .\]

Tam giác \[AEH\] vuông tại \[E\] có \[\widehat {AHE} + \widehat {HAE} = 90^\circ \]

Suy ra \[\widehat {HAE} = 90^\circ - \widehat {AHE} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .\]

Lại có \[AH\] là đường phân giác của \[\Delta ABC\] nên \[\widehat {BAC} = 2\widehat {HAE} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ .\]

Khi này, \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có \[\widehat {BAC} = 60^\circ \] nên \[\Delta ABC\] là tam giác đều.

Vậy \[\Delta ABC\] đều thì điểm \[M\] thuộc đường tròn đi qua bốn điểm \[E,F,I,K.\]

Do đó ta chọn phương án C.