III. Vận dụng
Cho nửa đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] đường kính \[AB.\] Vẽ các tia tiếp tuyến \[Ax,By\] với nửa đường tròn. Lấy điểm \[M\] di động trên tia \[Ax,\] điểm \[N\] di động trên tia \[By\] sao cho \[AM \cdot BN = {R^2}.\] Cho các nhận định sau:
(i) \[MN\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right).\]
(ii) \[\widehat {MON} = 90^\circ .\]
Kết luận nào sau đây là đúng nhất?
A. Chỉ (i) đúng.
B. Chỉ (ii) đúng.
C. Cả (i), (ii) đều đúng.
D. Cả (i), (ii) đều sai.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
⦁ Kẻ \[OH \bot MN\] tại \[H.\]
Vì \[AM \cdot BN = {R^2} = AO \cdot BO\] nên \[\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{BN}}.\]
Xét \[\Delta AOM\] và \[\Delta BNO,\] có:
\[\widehat {OAM} = \widehat {OBN} = 90^\circ \] (vì \[AM,BN\] là các tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]);
\[\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{BN}}\] (chứng minh trên).
Do đó (c.g.c)
Suy ra \[\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}};\] \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{N_1}}\] và \[\frac{{AM}}{{BO}} = \frac{{OM}}{{ON}}\] hay \[\frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{BO}}{{ON}}.\]
Vì tam giác \[AOM\] vuông tại \[A\] nên \[\widehat {{M_1}} + \widehat {{O_1}} = 90^\circ .\] Suy ra \[\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 90^\circ .\]
Ta có \[\widehat {AOB} = 180^\circ \] hay \[\widehat {{O_1}} + \widehat {MON} + \widehat {{O_2}} = 180^\circ .\]
Tức là, \[\widehat {MON} = 180^\circ - \left( {\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\] Do đó (ii) là nhận định đúng.
⦁ Xét \[\Delta AOM\] và \[\Delta ONM,\] có:
\[\widehat {OAM} = \widehat {MON} = 90^\circ ;\]
\[\frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{AO}}{{ON}}\] (do \[\frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{BO}}{{ON}},\,\,AO = BO).\]
Do đó (c.g.c)
Suy ra \[\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}.\]
Xét \[\Delta AOM\] và \[\Delta HOM,\] có:
\[\widehat {OAM} = \widehat {OHM} = 90^\circ ;\] \[OM\] là cạnh chung; \[\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\]
Do đó \[\Delta AOM = \Delta HOM\] (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra \[OA = OH,\] mà \(OA = R\) nên \(OH = R\).
Vì \[OH = R\] và \[OH \bot MN\] tại \[H\] nên \[MN\] là tiếp tuyến của đường tròn \(H.\)
Do đó (i) là nhận định đúng.
Vậy ta chọn phương án C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[BM = 2{\rm{\;cm}}.\]
B. \[BM = 6{\rm{\;cm}}.\]
C. \[BM = 8{\rm{\;cm}}.\]
D. \[BM = 4{\rm{\;cm}}.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì \[AC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] nên \[AC \bot AO\] tại \[A.\]
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] ta được:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 100.\] Suy ra \[BC = 10{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Vì \[AC,\,\,CM\] là hai tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] nên áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được \[CM = CA = 6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Ta có \[BM = BC - CM = 10 - 6 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 2
A. Chỉ (i) đúng.
B. Chỉ (ii) đúng.
C. Cả (i) và (ii) đều đúng.
D. Cả (i) và (ii) đều sai.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: C
⦁ Đường tròn \[\left( O \right)\] có \[OA = OC = R\] nên tam giác \[OAC\] cân tại \[O.\]
Tam giác \[OAC\] cân tại \[O\] có \[OH\] là đường trung tuyến nên \[OH\] cũng là đường cao của tam giác, do đó \[OH \bot AC\] hay \[\widehat {OHA} = 90^\circ .\]
Vì \[AN\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] nên \[OA \bot AN\] hay \[\widehat {OAN} = 90^\circ .\]
Xét \[\Delta OHA\] và \[\Delta OAN,\] có:
\[\widehat {OHA} = \widehat {OAN} = 90^\circ ;\] \[\widehat {AON}\] là góc chung.
Do đó (g.g). Suy ra \[\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{ON}}.\]
Vì vậy \[OH \cdot ON = O{A^2} = {R^2}.\] Do đó khẳng định (i) là đúng.
⦁ Tam giác \[OAC\] cân tại \[O\] có \[OH\] là đường trung tuyến nên \[OH\] cũng là đường phân giác của tam giác, do đó \[\widehat {AOH} = \widehat {COH}.\]
Xét \[\Delta AON\] và \[\Delta CON,\] có:
\[OA = OC = R;\] \[\widehat {AON} = \widehat {CON};\] \[ON\] là cạnh chung.
Do đó \[\Delta AON = \Delta CON\] (c.g.c).
Suy ra \[\widehat {OAN} = \widehat {OCN}.\] Nên \[\widehat {OCN} = 90^\circ .\]
Vì vậy \[OC \bot CN\] tại \[C\] hay \[CN\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right).\] Do đó khẳng định (ii) là đúng.
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 3
A. \[11,137{\rm{\;km}}.\]
B. \[128,000{\rm{\;km}}.\]
C. \[11,33{\rm{\;km}}.\]
D. \[11,314{\rm{\;km}}.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. Tam giác \[KOI\] cân tại \[K.\]
B. Tam giác \[KOI\] cân tại \[O.\]
C. Tam giác \[KOI\] cân tại \[I.\]
D. Cả A, B, C đều sai.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[15{\rm{\;cm}}.\]
B. \[12\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\]
C. \[18{\rm{\;cm}}.\]
D. \[6\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[OA \bot BC.\]
B. \[OA\] là đường trung trực của đoạn \[BC.\]
C. \[AB = AC.\]
D. \[OA \bot BC\] tại trung điểm của \[OA.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \[d\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right).\]
B. \[d\] cắt \[\left( O \right)\] tại hai điểm phân biệt.
C. \[d\] tiếp xúc với \[\left( O \right)\] tại \[O.\]
D. Cả A, B, C đều đúng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập