Cho đường tròn \[\left( O \right)\] bán kính \[OA.\] Từ trung điểm \[M\] của \[OA\] vẽ dây \[BC \bot OA.\] Biết độ dài đường tròn \[\left( O \right)\] là \[4\pi {\rm{\;cm}}.\] Độ dài cung lớn \[BC\] là

Đáp án đúng là: B

⦁ Xét \[\Delta OAB\] có \[OA = OB = AB = R\] nên \[\Delta OAB\] là tam giác đều.

Khi đó \[\widehat {AOB} = \widehat {OAB} = 60^\circ .\]

Theo bài, điểm \[C\] nằm trên tia đối của tia \[BA\] sao cho \[BC = BA\] nên \[B\] là trung điểm \[AC.\]

Tam giác \[OAC\] có \[OB\] là đường trung tuyến ứng với \(AC\) và \[R = OB = BA = BC = \frac{{AC}}{2}\] nên tam giác \[OAC\] vuông tại \[O.\]

Do đó \[\widehat {AOC} = 90^\circ \] (1)

⦁ Tam giác \[OAC\] vuông tại \[O,\] có: \[\widehat {OAC} + \widehat {OCA} = 90^\circ .\]

Suy ra \[\widehat {OCA} = 90^\circ - \widehat {OAC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] (2)

Do đó phương án D là kết luận đúng.

⦁ Từ (1), (2), ta thu được \[\widehat {AOD} = 3\widehat {ACD}.\] Do đó phương án A là kết luận đúng.

⦁ Từ (1), ta suy ra \[OA \bot OE\] hay \[\widehat {AOE} = 90^\circ .\]

Do đó phương án B là kết luận sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

⦁ Ta có \[ME\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] nên \[ME \bot OE\] tại \[E.\]

Do đó tam giác \[OEM\] vuông tại \[E.\]

Gọi \[J\] là trung điểm \[OM.\]

Tam giác \[OEM\] vuông tại \[E\] có \[EJ\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(OM\)

Suy ra \[EJ = JO = JM = \frac{{OM}}{2}.\]

Do đó ba điểm \[M,E,O\] cùng thuộc đường tròn tâm \[J,\] đường kính \(OM\).

Chứng minh tương tự, ta được ba điểm \(M,\,\,F,\,\,O\) cùng thuộc đường tròn tâm \(J,\) đường kính \(OM.\)

Vì vậy các điểm \(M,\,\,E,\,\,O,\,\,F\) cùng thuộc đường tròn tâm \(J\) đường kính \(OM.\)

Do đó khẳng định (i) là đúng.

⦁ Gọi \(G\) là giao điểm của \(EM\) và \(FD\).

Tam giác \(OEF\) cân tại \(O\) (do \(OE = OF = R)\) có \(OM\) là đường phân giác (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(OM\) cũng là đường cao của tam giác \(OEF\), do đó \(OM \bot EF\).

Tam giác \(FED\) có \(FO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(ED\) và \(FO = \frac{{ED}}{2}\) nên tam giác \(FED\) vuông tại \(F\). Do đó \(EF \bot FD\).

Suy ra \(FD\,{\rm{//}}\,OM\) hay \(DG\,{\rm{//}}\,OM\).

Tam giác \(EDG\) có \(O\) là trung điểm \(ED\) và \(DG\,{\rm{//}}\,OM\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(EDG\). Khi đó \(M\) là trung điểm \(EG\) nên \(ME = MG\).

Vì \(PK\,{\rm{//}}\,ME\) (do cùng vuông góc với \(ED)\) nên áp dụng định lí Thalès, ta được \(\frac{{PK}}{{ME}} = \frac{{DP}}{{DM}}\) (1)

Chứng minh tương tự, ta được \(\frac{{PF}}{{MG}} = \frac{{DP}}{{DM}}\) (2)

Từ (1), (2), ta suy ra \(\frac{{PF}}{{MG}} = \frac{{PK}}{{ME}}.\)

Mà \(ME = MG\) nên \(PF = PK\) hay \(P\) là trung điểm của \(FK.\)

Vì vậy \(PF = PK = \frac{{FK}}{2} = \frac{6}{2} = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\) Do đó khẳng định (ii) là đúng.

Vậy ta chọn phương án C.