Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i - \overrightarrow k \) với \(\overrightarrow i ,\overrightarrow k \) là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ \(Ox,Oz\), hai điểm \(B\left( { - 1;2;3} \right),C\left( {1;4;1} \right)\).

a) Đ,  b) S,  c) Đ, d) Đ

a) Vì \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i - \overrightarrow k \Rightarrow A\left( {3;0; - 1} \right)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;2;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;4;2} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên suy ra \(A,B,C\) không thẳng hàng.

c) Điểm \(D\left( {a;b;c} \right)\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \(AD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2{x_B} - {x_A} = - 5\\{y_D} = 2{y_B} - {y_A} = 4\\{z_D} = 2{z_B} - {z_A} = 7\end{array} \right.\). Suy ra \(D\left( { - 5;4;7} \right)\).

Suy ra \(a = - 5;b = 4;c = 7\). Vậy \(a + b + c = 6\).

d) Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3 - x - 1 - x + 1 - x = 0\\0 - y + 2 - y + 4 - y = 0\\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2;1} \right)\).

Ta có \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\)\( = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)

\( = 3M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)\)\( = 3M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\).

Do \(I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\) không thay đổi nên \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất hay \(M\) là hình chiếu của điểm \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Do đó \(M\left( {1;2;0} \right)\). Suy ra \(m = 1;n = 2;p = 0\). Vậy \(2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0\).