Trong không gian \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( {3;5; - 1} \right),\,\,B\left( {7;x;1} \right)\) và \(C\left( {9;2;y} \right).\) Để \(A,\,\,B,\,\,C\)thẳng hàng thì giá trị \(x + y\) bằng    

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Vì nền nhà là hình chữ nhật nên \[OABC\] là hình chữ nhật, suy ra \({x_A} = {x_B} = 4\), \({y_C} = {y_B} = 5\).

Do điểm \[A\] nằm trên trục \[Ox\] nên tọa độ điểm \[A\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\]; điểm \[C\] nằm trên trục \[Oy\] nên tọa độ điểm \[C\left( {0;5;0} \right)\].

Tường nhà là hình chữ nhật nên \[OCHE\] là hình chữ nhật, suy ra \({y_H} = {y_c} = 5\), \({z_H} = {z_E} = 3\).

Do \[H\] nằm trên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] nên tọa độ điểm \[H\left( {0;5;3} \right)\].

Tứ giác \[OAFE\] là hình chữ nhật nên \({x_F} = {x_A} = 4\), \({z_F} = {z_E} = 3\)

Do \[F\] nằm trên mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] nên tọa độ điểm \[F\left( {4;0;3} \right)\].

b) Ta có toạ độ vectơ \(\overrightarrow {AH} = ( - 4\,;\,5\,;\,3)\).

c) Ta có \[\overrightarrow {AF} = (0\,;0\,;3)\]. Suy ra \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AF} = 0 + 0 + 9 = 9\).

d) Để tính góc đốc của mái nhà, ta tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \[FG\], hai mặt lần lượt là \[\left( {FGQP} \right)\] và \[\left( {FGHE} \right)\].

Do mặt phẳng \[\left( {Ozx} \right)\] vuông góc với hai mặt phẳng \[\left( {FGQP} \right)\] và \[\left( {FGHE} \right)\] nên \(\widehat {PFE}\) là góc phẳng nhị diện cần tìm.

Ta có \(\overrightarrow {FP} = ( - 2\,;\,0\,;\,1)\), \(\overrightarrow {FE} = ( - 4\,;\,0\,;\,0)\) suy ra

\(\cos \widehat {PFE} = \cos (\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} ) = \frac{{\overrightarrow {FP} .\overrightarrow {FE} }}{{\left| {\overrightarrow {FP} } \right|.\left| {\overrightarrow {FE} } \right|}} = \frac{{( - 2)( - 4) + 0.0 + 1.0}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Do đó, \(\widehat {PFE} \approx 26,6^\circ \). Vậy góc đốc mái nhà khoảng \(26,6^\circ \).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

b) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\).

c) Theo đồ thị ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = 0\)và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = - 4\).

d) Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3 - x} \right)\) . Vì \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(g\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:

Ta có: \(g'\left( x \right) = {\left( {3 - x} \right)^\prime }f'\left( {3 - x} \right) = - f'\left( {3 - x} \right)\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - f'\left( {3 - x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - x = 0}\\{3 - x = 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).

Từ bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) suy ra được bảng xét dấu của \(g'\left( x \right)\)

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) không nghịch biến trên \(\left( {2;5} \right)\).