Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Lớp 9A và lớp 9B có tổng cộng học sinh. Trong đợt thu nhặt giấy báo cũ thực hiện kế hoạch nhỏ, mỗi lớp có 3 bạn góp được , các bạn còn lại mỗi bạn góp Tính số học sinh của mỗi lớp, biết lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A là giấy báo cũ.

Đặt \[AD = x\,\,\left( {x > 0} \right)\].

Ta có tứ giác \[ADME\] có \[\widehat {ADE} = \widehat {DAE} = \widehat {AED} = 90^\circ \] nên \[ADME\] là hình chữ nhật. Do đó, \[AD = EM = x.\]

Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta ECM\] có:

\(\widehat A = \widehat {MEC} = 90^\circ \,;\,\,\widehat C\) chung.

Do đó $∆ABC ~ ∆ECM$ (g.g)

Suy ra \[\frac{{EM}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CA}}\] hay \[\frac{x}{6} = \frac{{CE}}{8}\] suy ra \[CE = \frac{4}{3}x\].

Ta có \[AE = AC - EC = 8 - \frac{4}{3}x\].

Diện tích hình chữ nhật \[ADME\] là:

\[{S_{ADME}} = AD.AE = x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right)\].

Ta có: \[x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right) = - \frac{4}{3}{x^2} + 8x = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x} \right)\]

                            \[ = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 12\]

                            \[ = - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12\].

Vì \[{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \[ - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Do đó \[ - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12 \le 12\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Dấu “=” xảy ra khi \[x - 3 = 0\] khi \[x = 3.\]

Khi đó \[D\] là trung điểm của \[AB\].

Suy ra \[M\] là trung điểm của \[BC\].

Do đó, diện tích lớn nhất của \[ADME\] bằng \[{\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] khi \[M\] là trung điểm của \[BC\].

Vậy diện tích ao cá lớn nhất mà người đó có thể đào là \[{\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] khi \[M\] là trung điểm của \[BC\].

Xét vuông tại có: suy ra

Do và là hai tiếp tuyến của đường tròn nên là tia phân giác góc (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra .

Do đó, nên .

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính và cung nhỏ là:

(đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính và cung nhỏ là  (đvdt).