Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn sao cho . Từ vẽ hai tiếp tuyến và của đường tròn (với là hai tiếp điểm), đường thẳng cắt tại .

Kẻ đường kính của đường tròn . Kẻ vuông góc với tại .

Cho , tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính và cung nhỏ theo

Đặt \[AD = x\,\,\left( {x > 0} \right)\].

Ta có tứ giác \[ADME\] có \[\widehat {ADE} = \widehat {DAE} = \widehat {AED} = 90^\circ \] nên \[ADME\] là hình chữ nhật. Do đó, \[AD = EM = x.\]

Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta ECM\] có:

\(\widehat A = \widehat {MEC} = 90^\circ \,;\,\,\widehat C\) chung.

Do đó $∆ABC ~ ∆ECM$ (g.g)

Suy ra \[\frac{{EM}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CA}}\] hay \[\frac{x}{6} = \frac{{CE}}{8}\] suy ra \[CE = \frac{4}{3}x\].

Ta có \[AE = AC - EC = 8 - \frac{4}{3}x\].

Diện tích hình chữ nhật \[ADME\] là:

\[{S_{ADME}} = AD.AE = x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right)\].

Ta có: \[x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right) = - \frac{4}{3}{x^2} + 8x = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x} \right)\]

                            \[ = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 12\]

                            \[ = - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12\].

Vì \[{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \[ - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Do đó \[ - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12 \le 12\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Dấu “=” xảy ra khi \[x - 3 = 0\] khi \[x = 3.\]

Khi đó \[D\] là trung điểm của \[AB\].

Suy ra \[M\] là trung điểm của \[BC\].

Do đó, diện tích lớn nhất của \[ADME\] bằng \[{\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] khi \[M\] là trung điểm của \[BC\].

Vậy diện tích ao cá lớn nhất mà người đó có thể đào là \[{\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] khi \[M\] là trung điểm của \[BC\].